Lagrange方程的动力学本质

河北科技大学学报第24卷第2期JOURNAL OF HEBEI UNIVERSITY OF总第65期2003年SCIENCE AND TECHNOLOGYsum652003文章編号:1008-1542(2003)02005605Lagrange方程的动力学本质王慧君,刘东旭(河北科技大学机械电子工程学院,河北石家庄050054)摘要:对广泛应用的 Lagrange方程的动力学本质做了探讨,指出在引入速度变换矩阵后, Lagrange方程实际上是牛顿第二定律的一种表示方式;由于引入了速度变換矩阵, Lagrange方程可以方便地在任意的坐标系中建立,对动力学问题的求解提供了一个途径关键词: Lagrange方程;速度变换矩阵;动力学中图分类号:O316文献标识码:ALagrange方程是分析力学中的一个重要方程,它不仅在理论上揭示了系统的最小势能原理,在实用上也有很大价值:当系统的动能和势能的表达式可求的情况下,可以使系统动力学方程的形式和求解变得很简单但首先该方程与经典力学中牛顿定律的关系是一个值得探讨的问题,再则由于在具体问题中 lagrange方程的简易程度和坐标系的选取有很大关系,对于一个任意的坐标系,在其中建立 Lagrange方程是有实际意义的。本文在引人速度变换矩阵后,说明了Lagrange方程的实质是牛顿第二定律,利用速度变换矩阵可以方便地在任意的坐标系中建立Lagrange方程。1速度变换矩阵及其性质1.I速度变换矩阵对于有N个自由度的系统,设其K个运动方程为(r)=(f (qi则速度矢量为q{,a|2fK其中:收稿日期:20020114;修回日期:20020403;责任编辑:王士忠作者简介:王意君(1946-),女,河北博野人,副教授,主要从事固体力学方面的研究中国煤化工CNMHG第2期王慧君等 Lagrange方程的动力学本质称为速度变换矩阵1.2速度变换矩阵的性质性质1:性质2:性质3:在理想完整约束下有:AT={0}FK性质1和性质2可以通过计算直接验证,性质3可简单证明如下:设作用在系统每个质点的力按照运动方程顺序可写为FIFFKFK其中:{F}为系统主动力,{F}为约束力(包括约束外力和约束内力)在理想完整约束下,由理想约束的定义有6r18r;(4)F而由式(1)有(5)因而有中国煤化工CNMHG河北科技大学学报2003年F2 Lagrange方程和牛顿第二定律由牛顿第二定律,系统的动力学方程为m2,(7)将式(2)代入式(7)得(m,m2,…,m)+3(m1,m2(8)将式(8)两边同时作用AT并利用性质3可得Am1,m,2da1:}=46(9)FK以下证明式(9即 Lagrange方程。设 Lagrange函数为T,则方程一般形式为aT(10)按广义力的定义,显然有(11)f1系统的功能T=(4/91y+a1:/)Tm,m,…,m(A9分别计算a,和动,利用性质1、性质2和复合函数求导有中国煤化工CNMHG第2期王慧君等 Lagrange方程的动力学本质72qN+u(aT myaTaTtaT元(A)m1,m2;…,mx(A2+(13)式(12)与式(13)对时间t的一阶导数相减得aquaTAT(A)m1,m2,…,mkAATm1,m,…,m!2(14)比较式(9)式(11)和式(14)的第i个分量和式(10)可知, Lagrange方程是在系统的动力学普通方程,式(7)两边同时作用速度变换矩阵速度变换矩阵A的结果,因此 Lagrange方程的实质就是牛顿第二定律。在坐标q1,q2,…,qN的不同选取下,牛顿第二定律表现出来的( Lagrange方程)形式会有不同。如果把q,q2,…qN的不同选取视为不同的状态空间的描述, Lagrange方程中国煤化工CNMHG北科技大学学报实际上是牛顿第二定律在状态空间中的表达形式,它把牛顿第二定律中的向量坐标换为标量坐标,而速度变换矩阵是实现这一变换的数学工具。在运动方程(1)不含时间t的显式时,式(9)的形式特别简单注意到矩阵Am,m2,…;mxA是对称矩阵在许多情况下对称矩阵的性质可以运用到式(15)的求解中。数例和应用如图1所示,直角三角板A可以沿光滑水平面滑动,在三角板A的光滑斜面上放置一个均质圆柱B,其上绕有不可伸长的绳索,绳索通过理想滑轮C紧挂一质量为m的物块D,已知圆柱的质量为2m,三角板A的质量为3m,a=30;设开始时系统处于静止状态滑轮C的大小和质量忽略不计。试确定系统的运动解:系统的运动方程为XA=I3, XB=T3+(L2-xz)图1物块运动系Fig. 1 Motion system for body2,XD=x3+L1,YD=x1,其中:L1和L2分别代表三角板A的底边和斜边长经简单计算速度变换矩阵质量矩阵和外力矩阵分别为分别计算(ATm,m2,…,mA)和(A{FW}),得 Lagrange方程为20-3 oio这个结果与传统做法是一致的下转第88页)中国煤化工CNMHG河北科技大学学报2003年参考文献:[1]何立民,单片机应用系统设计[M]北京:北京航空航天大学出版社,1998[2]刘振字,刘恩福岳彦芳.基于数控加工的箱体零件CAPP系统[].河北科技大学学报,2003,24(1):65[3]刘国强,孙兰英,程玮燕,等,动平衡计算在长曲轴车削时的应用[河北工业科技,2002,19(5):1-3Theory of Forward-plus and Back-minus Bi-pulse Coderand Its Implementation of ProgramWANG Feng- ming, HU Xiao-xiang(l. College of Bioscience and Bioengineering, Hebei University of Science & Technology, Shijiazhuang Hebei050018, China: 2. The Library, Hebei University of Science Technology, Shijiazhuang Hebei 050018, China)Abstract: In the application on shearing machine of steel reel spread flat and fixed length, in order to solveproblem that the length of steel reel becomes longer when the steel is forward and becomes shorter when the steeel is backward corresponding to the shears, the positive or negative rotation of coder should firstly be determinedfrom the two pulses created by the bi-pulse coder, thus, the design of flying shears can be implemented in the steelreel spread flat and fixed lengthKey words: Bi-pulse coder; fixed length shearing machine; forward-plus and back-minus(上接第60页)综前所述可得 Lagrange方程是在一组特定坐标系中(广义坐标q1,q2,…,qN)牛顿第二定律被速度变换矩阵作用的结果是牛顿第二定律在特定坐标系中的表达形式;在一些具体问题中,只要能求出速度变换矩阵就可直接从单个质点或刚体的动力学方程,通过矩阵运算即可求解动力学问题,它对大型复杂的动力学问题求解的计算机化是有意义的。参考文献]史荣昌.矩阵分析[M].北京:北京理工大学出版社,195[1]边字虹,分析力学与多刚体动力学基础[M].北京机械工业出版社,1998The Essence of Dynamic Mechanics forLagrange equationWANG Hui-jun, LIU Dong-xu(1. College of Mechanical and Electronic Engineering, Hebei University of Science and Technology, ShijiazhuangHebei 050018, China)Abstract: In this paper the essence of dynamic mechanics for Lagrange equation is discussed. It is indicated thatiter a speeds transform matrix, the Lagrange equation is an expression form of the second Newton's law, Be-cause the transform matrix of a speed is introduced, the lagrange equation may be set up expediently. This methodprovides a way for solving the problem of dynamic mechanicsKey words: Lagrange equation speeds transform matrix dynamics中国煤化工CNMHG