相对论BirkhOff系统动力学研究

第50卷第12期2001件12月物理学报Vol 50, No, 12, December, 200110003290/2001/50(12)1289-0ACTA PHYSICA SINICA@2001 Chin. Phys. S相对论 Birkhof'系统动力学研究傅景礼》)陈立群》)罗绍凯2)陈向炜2)王新民1)(上海大学上海市应用数学与力学研究所,上海20072)(商丘师范学院数学力学与数学物理研究所,商丘4760002000年11月23日收到;200年S月19日收到修改稿给出相对论系统的Birh函数和Bikh函数组、Pa作用量、 Pfaff- Birkh原理、 Birkhof方程;研究相对论动力学系统的Bdho表示方法;根据在无限小变换下相对论P作用量的不变性和相对论Bikh方程的不变性得到相对论 Birkho系统的 Noether对称性理论和lie对称性理论;研究相对论 Birkhof系统的代数结构和 Poisson分方法关鍵词:相对论, Birkhof系统, Noether对称性,Iie对称性,代数结构, Poisson积分PACC:0316,04122相对论 Pfaff-Birkhe原理与相对论Bkho方程Biho动力学的研究始于1927年美国数学家Biho的工作.1978年美国物理学家Snli考虑定义相对论性Pa作用量时间t将该方程修改后命名为Bkho方程2,并将该方程引入力学领域研究了完整约束系统的动力A={R:(m(,a),t,a)d-B'(m,(t,a)学问题,从此 Birkhof方程在数学力学研究领域受到重视.1992年我国数学力学家梅风翔利用 Birtht,a)ldt (v=I(1)方程研究了非完整系统的动力学问题“,并给出了本文采用 Einstein求和约定式中a=a(a1,…,Birkhoff系统的 Noether 3理论”, Poisson理论及运),m为;质点的相对论性质量动稳定性理论,构筑了Bdh系统动力学的理论框架°. Birkhof系统动力学比 hamilton力学更为mo/√1-r/i=1,…,N),(2)般1, Hamilton力学理论犹如一颗参天大树,已经mo为i质点的经典质量,r=i,(t,a)为i质点的根深叶茂,成为当今非线性科代物理领域中一速度,c为光速个最富成果而又生机勃勃的研究方向H.相信类同于文献[20],不难证明在相对论力学中dBih系统动力学理论在非线性科学、近代物理领与6满足交换关系,则等时变分原理域中也理应扮演重要角色近10余年来相对论分析aRaR am aR aRam力学的研究取得了丰硕成果"m.本文将BMm6A·={(ag+am,odaa动力学的研究从经典力学扩展到高速运动的相对论力学,建立了相对论力学与 Birkhof动力学的交叉理aBaBam, ar. ar:ada" at am a论,为 Birkhof动力学进入近代物理研究领域奠定基础da dt= 0y,=1,…,2n;i=1,…,N),(3)带有交换关系国家自然科学基金(批准号:19972010)和河南省自然科学基金(批准号:984053中国煤化工CNMHG2290物理学报daa= 8da(4)及端点条件B'(a)=6a(5)如果仅R不显含时间t,则相对论 Birkhoff方程称为相对论hf,Biho原理式中B为相对论(9)为半自治的有形式Birkhof函数,R;为相对论 Birkhoff函数组令:(a)a-9B”(a)=0B’=B'(t,a)=B'(m(t,a),t,a)R=R:(t,a)=R:(m;(t,a),t,a),3相对论动力学系统的Bkh表示则有3.1相对论完整力学系统的 Birkho表示e-2aBam研究N个质点构成的力学系统,第i个质点受到主动力F;,如果系统只受有理想完整约束或不受aa" aa" am aa(7)约束,我们引入相对论性的广义动能函数3T=mac2(1-√1-P2).(15引入凝固偏导数和凝固导数记号,令Ⅱ那么,原理(3)式可表为/q,分别表示把质量当作常量时对q,q,的偏导数,D/Dt表示把质量当作常量时对时间t的导数8A·=可得到相对论完整约束系统凝固导数形式的运动方程aB8a"dt=0.(8)2Q,+2Ws(s=1,…,N)由积分区间[t,t2]的任意性,8a的独立性,得到Q系统的相对论 Birkhof方程(16)式可表为显式∩aBq,=g,()(s,k=1令(9)方程(17)可表为标准一阶形式称为相对论Brkh张量.(9)式表示成逆变形i'=o,o'=a,o"'=g, (gs, 9, 4).式要使方程有相对论 Birkhof形式(9),即B·Rb. aR式中则有(21)(11)为相对论 Birkhof逆变张量.一般假设对于给定的B,无论R’是否显含时间t,方程(21e(n)≠0(12)总可表为 Cauchy-KoBarmeBcKas型的21.根据 cauchyKoBareBcKas定理,方程(21)的解总是存在的因此若R,B·都不显含时间t,则相对论 Birkhoff方程TH中国煤化工示(9)为自治的有如下形式:CNMH统可表为正则形12期傅景礼等:相对论 Birth系统动力学研究2291式0a"a、分取B’为相对论 Hamilton函数,则(22)式自然有+FE-B广-:(R;F.-B”}=0.(2)BihM表示,即相对论完整动力学系统都可纳人引入规范函数P=P(t,a),在(29)式中相加并相减Bih系统eP,得到32相对论非完整动力学系统的Brkh表示(RF.-B+P)+戶假定系统除受有完整约束外,还受有非完整约束f(q,9,t)=0(B=1,…,g),(23)aB则系统的运动可表为凝固导数形式的 Routh方程+RF-B‘升=0(30)DⅡT°Q,+2Ys(24)由不变性条件(30)式立即得到,对于相对论Bidh在运动方程积分之前,可由方程(23)和(24)求系统(9)式如果无限小变换生成元F,/和规范函出乘子作为q,,t的显函数2,记作数P满足如下关系:ag ag(q,,9,,t),r. aB则方程(24)可表为显式P(26)R2F-B'f=0,(31)方程(26)为非完整系统(23)和(24)式相应完整系统的运动方程.如果初始条件满足约束方程(23),即那么系统存在如下守恒量:f(q,q,)=0,那么方程(26给出所论非完整R,. f+P=const系统的运动因此,相对论非完整系统的 Birkhoff化于是有问题,转化为相应完整系统(26)式的 Birkhof化问定理1对于相对论 Birkhof系純(9)式,如果题那么,一切相对论非完整系统的运动方程都有无限小变换(27)式的生成元F,∫和规范函教P满Birkhof表示足条件(31)式,则系統存在形如(32)式的守恒量可见,对于给定的B,R,可由(31)式找到无4相对论 Birkhof系统的积分理论限小变换生成元F。,/和规范函数P,然后由(32)式找到系统的守恒量4.1相对论 Birkhoff系统的 Noether理论对于逆问题,我们假设相对论 Birkhof系统有r个彼此独立的第一积分相对论 Birkhot系统的 Noether理论分为正问题和逆问题对于正问题,我们引入无限小变换I=I(t, a)=/(m;, (t, a),t, a)=consta'= a"+EF(t, a),(33试由该积分找到相应 Noether对称性式中e为小参数,和F为无限小变换生成元,将将(33)式对时间t求导数得到(27)式代入原理(8)式并注意到积分区间[t1,l2]的(34)dt任意性,得到再将(9)式等号两端乘以F=F-a了并对n求和aR:aR)(aB·R再将结果与(34)式相加,得到a°x(Fr-af)=0中国煤化此式可表为CNMHG2292物理学报50卷B·aR生成元∫,F,如果存在满足(F-a"(R"a'-B)+(Ra"-B)由(35)式中a'的系数为零,得到(42)//aR, a的规范函数P,那么相对论 Birkhof系统存在如下守aa恒量’=RF-B'f+P对于逆问题,我们有若相对论Biho方程非退化定理4如果已知相对论 Birkhof系统(9)式的rdet(∴)=deaRaa/×0,个独立的第一积分,可求得该系统 Noether对称性变换的生成元∫,F若∫,F。满足确定方程(41),那故可由(35)式解得到么,该系统是与第一积分对应的Iie对称性变换,否F=n(37)则不是Le对称性变换at令积分(33)式等于守恒量(32)式即4.3积分相对论 Birkhof方程的场方法I'(m (t, a), 4, a)=R F-B'f+ P关于此问题的研究见文献[26」那么有定理2如果已知相对论Bh系(9)式的5相对论 Birkhoff系统的代数结构与第一积分,且选定具体的规范函数P后,由(37)Poisson积分方法(38)式可确定该系统的无限小变换生成元∫F,它们对应于相对论Bth系统(9)式的 Noether对称5.1相对论 Birkhof方程的代数结构性变换对于自治形式或半自治形式的相对论Bh方4.2相对论 Birkhof系统的Iie对称性理论程(13)和(14),将余切丛TM上的某函数A'(a)按相对论Bdh系统的Lic对称性理论见文献(3)或(14)式求对时间t的导数定义为一个积[25],本文给出一些结论在(27)式的无限小变换下,引入无限小变换的A(a)=ndeAB·.(44)生成元向量类似于文献[27]的证明,它满足右分配律、左分配(39)律、标律,还满足反对称性和 Jacobi恒等式,那么,我以及它的一次扩展们得到定理5自治形式和半自治形式的相对论Birkx=x+(F。-dhf方程(13)和(14),具有相容代数结构和le代数由相对论Bho方程(9)在无限小变换下的不变结构性,可得到相对论 Birkhol系统的确定方程对于非自治形式的相对论Brkh方程(10),将F.-+8余切丛T'M上的某函数A(a)按(10)式求对时间t的导数定义为一个积=X°[ba:(9,9A'(a)=a-(°B+koa+a/df’g如果无限小变换(27)式的生成元f,F满足确(45)定方程(41),就称变换(27)式是Le对称的那么有类似于立献21的证明它不满足右分配律、标律定理3对于满足确定方程(41)的无限小变换那么我中国煤化工CNMHG傅景礼等:相对论Brkh系统动力学研究2293定理6非自治形式的相对论 Birkhof方程对论Bikh系统关于第一积分的广义 Poisson(10)没有相容代数结构{21条件研究一种特殊非自治形式的相对论 Birkhof系定理9自治形式的相对论 Burke系统的统如果方程(10)中的相对论Bho函数B‘和相Bdh函数是系统的第一积分定理10如果自治形式和半自治形式的相对对论Biho函数组R还满足关系论 Birkhof方程(13)和(14)有不处于相互内旋的两BaR(46)个第一积分H(,a)=C,l(t,a)=C2,则它们式中的广义 Poisson括号[,也是系统的第一积分定理11如果自治形式和半自治形式的相对论Bh方程(13)和(14)有包含时间t的第一积(T")0T”0(47)分(t,a)=C,那么8:x,都是系统的第为相对论性对称张量,可由(46)式确定那么非自治一积分形式的相对论Bh方程(10)表为如下形式定理12如果自治形式和半自治形式的相对S灬BBirkhoff方程有包含a的第一积分,而日和da" =0(48)B都不含a",则…都是系统的第一我们将余切丛TM上的某函数A(a)按(48)积分式求对时间t的导数定义为一个积对于特殊非自治形式的相对论Bho方程B(48),在积定义(49)和(50)式下具有Lie容许代数结A'(a)=s da defa·B.(49)构,而不具有Le代数结构,那么关于积分完整保守类似于文献[27]的证明,该积满足右分配律、左分配系统的 Poisson理论只能部分应用于这类系统律和标律是有由积(49)式再定义一个新积定理13I‘(t,a)=I(m,(t,a),t,a)=CA·B’seA'B-B`A.(50)是特殊非自治形式的相对论 Birkhoff系统(48)式第不难证明它满足Le代数公理那么有积分的充要条件为定理7特殊非自治形式的相对论 Birkhot方程(48)在积定义(49),(50)式下具有相容代数结构和Le容许代数结构(52)式称为特殊非自治形式的相对论 Birkhof系统52相对论 Birkho系统的 Polsson积分(48)式关于第一积分的广义 Poisson条件定理14B'(t,a)=B'(m1(t,a),t,a)=C自治形式和半自治形式的相对论Bho方程13)和(14)具有Le代数结构,因此,关于积分完整是特殊非自治形式的相对论 Birkhoff系统(48)式第保守系统的 Poisson理论可全部应用于这类系统.于积分的克要条件为是有B(53)定理87'(t,a)=I'(m,(t,a),t,a)=C是定理15如杲特殊非自治形式的相对论Birk系统(13),(14)式第一积分的充要条件为ho系统(48)式有包含d的第一积分,而S"和al+[I',B'1=0,[r,B]=BB·都不显含n,那云8·2,…都是系统的第(51(证明略)(51)式称为自治形式和半自治形式的相一积中国煤化工CNMHG物理学报50卷函数组R6讨论B=B((t,a),t,a),R:=R:(l,(1.随着科学的发展,人们的研究表明,力学系可以得到转动相对论Bhof系统的动力学理统的位形空间并不一定是欧氏空间,而必是微分流论形 Poincare提出用微分流形取代欧氏空间作为力学3.本文的研究具有一般性.在r