分形与连分数

第30卷第4期(下)赤峰学院学报(自然科学版Vol. 30 No 42014年4月ournal of Chifeng University( Natural Science EditionApr.2014分形与连分数闫月静,李核,刘丰(吉林师范大学数学学院,吉林四平136000摘要:分形几何学以非规则几何形态为研究对象,在数论中有着重要的应用连分数的展式具有分形集结构的自相似性,可以估算其部分商满足一定条件下的 Hausdor维数关键词:分形;连分数; Hausdorff测度; Hausdorft维数中图分类号:O29;0156文献标识码:A文章编号:1673-260X(201404-0001-021分形理论δΣU取其下确界,有H。(F)≤8H(F令80,D>s,若H1.1分形的定义在20世纪70年代, Mandelbrot为了表征复杂图形和复a,则H=D.所以存在s的一个临界点使得H从杂过程引入了“分形”faca一词,它的原意是指不规则的跳跃”到0,该临界值就称为集F的 Hausdorff维数,记为支离破碎的物体,随后又将其引入到自然学科领域,逐步形dimH(F)成了以非规则几何形态为研究对象的分形几何学dimH(F=infs: H(F=0=sups: H(F=oo I在1982年, Mandelbrot将分形定义为拓扑维数大于=inf(s: H(F) oo =sup(s: H(F)>OKHausdorff维数的集合.之后, Mandelbrot又给出了分形更广∞,sdimH(F)图形中的局部与整体间的自相似性迄今为止,分形还没有2连分数严格的定义分形在经典数论中的例子就是连分数,可以利用连分一般地,具有如下典型性质的集F称为分形数的展开式来定义数集(i集F在任意小的尺度下都有精细的结构;21连分数的定义ⅱ)集F是极不规则的,它不能用传统的欧几里德空间任意一个不是整数的数x都可以写成x=an+1/x1,这里a的集合语言进行描述,即它既不是某些方程的解集又不是是一个整数,并且x>1.类似地,如果x不是整数,那么满足某些条件的点的轨迹x=a+1/x2,这里x2>1,所以x=a+1/a+1/x2),以这种方法进行(ⅲi集F具有结构上的自相似性下去,对每个k,x=a+l/(a+1(…1/a-+1/x(iv)集F的分形维数大于其拓扑维数;假设在每一步x都不是整数则称整数序列a在大多数的情况下,分形集F的定义很简单,并且可以(可以是有限项也可以是无限项)是x的部分商,之“a3通过变换相应的迭代关系而产生2 Hausdorff测度在R中, VUCR U≠0,U的直径为U=sup{xyx,y∈U},即U内任何两点距离的最大值若FCYU,且对ⅵ都为x的连分数的展式,或记为aa,aa…]的形式连分数的展式在结构上很好的体现了分形集的精细结有00,定义22连分数的基本性质及应用H(F=f∑U:U为F的。-覆盖性质1有理数可以展开成有限项连分数,无理数可以展开成无限项连分数考虑所有满足Ⅲ≤8的F的覆盖使∑U达到最小例1当δ减少时,上式中能覆盖F的集类也减少,H。(F)增加,且当8-0时,H。(F)趋于一个极限记HvF=lmH(F)V2=1+,即√2=1,2,2,2,…对VFCR“此极限都存在,我们称H()为F的s-维Hausdorff测度性质2具有整系数的二次方程的根都有周期性的部3 Hausdorff维数分商(即二次根式)对于ⅤFCR,8<0H(F)对s是不增的,且H(F)也是不例2x2+4x-2=0的根x=-2+V6,x2=-2-V6增的,进一步来说,若t>s,(U}为F的8-覆盖,则有∑U≤我们考虑正根x=-2+V6=1分商a1,n,进而可以求出x的连分数展式.进行变换2+√a+a+x,即可求出Va的连分数展式a1,a2,a,,a,则√a=x0.242.4.24,…}=024例4求√7的连分数展式解V7的整数部分a=2,令x=V7-2由此,我们可以给出V6的连分数形式[224,24,24…}=[2.4x=V7-2=(V7=2V7+2√7+2V7+2性质3已知周期性的部分商,可以求出无理数/7-1例3x=[1,1212…1=12令x-1=A,A=0,1,1,2,1,2,…=(0.i.21+3V7+2周期性的部由于连分数整体结构就有分形的自相似性,则λ1,化简为A+2A-20,4+V7分商为1,1,14,则x=V7-2=0.i.i4.所以V7=x+2解得λ=-1+√3,A2-1-√3(负根舍去),得到2.ii14.+y3,则x=V3,即√3=1.1.22.12…=1,i,213连分数分形集的 Huasd0维数性质4A[ana,a,ay…}=[ Aan Aa,Aa2,Aa…l利用分形的自相似性,也可以定义分形集设DCR,且23形如√a的连分数展式D为闭集,映射S:D→D,如果Ⅴx,y∈D,3c,0