β-粗积分

第43卷第12期山东大学学报(理学版)2008年12月Vol 43Joumal of Shandong University( Natural ScienceDec,2008文章编号:16719952(2008)1006105R粗积分苏芬肖,陈保会(山东大学数学学院,山东济南250100摘要:基于文献[1]提出的F粗积分概念,引入迁移信度β提出在迁移信度B条件下的粗积分,讨论F粗积分与粗积分的关系,证明粗积分是F粗积分的推广,F粗积分是粗积分的特例。关键词:函数单向S粗集;F粗积分;迁移信度β;粗积分中图分类号:O159文献标志码:AThe p-Rough integralSU Fen-xiao. CHEN Bao-huiSchool of Mathematics and System Science, Shandong University, Jinan 250100, Shandong, China)Abstract: Based on the concept of the F- rough integral proposed by Yu, the concept of the p-rough integral was given by em-ploying the transfer credibility degree B, the relation between the F-rough integral and the p-rough integral was discussed. It wasproved that the p-rough integral is a generalization of the F-rough integral, while the F-rough integral is a special case of the B-rough integralKey words: function one direction S-rough sets; F-rough integral: transfer credibility degree P; B-rough integral函数S粗集2是在Z. Pawlak粗集6的基础上给出的,它由函数单向S粗集,函数双向S粗集以及函数单向S粗集对偶3部分组成。函数S粗集具有动态性,且其动态性是通过函数迁移实现。函数单向S粗集(R,F)(Q),(R,F)(Q))是由于有Q之外的元素u完全迁移到了Q中去或Q=QU{v1v∈v∈Q,f()=u∈Q而生成的,文献[1]基于函数单向S粗集提出F粗积分的概念,并给出F粗积分的数学结构∫():p(2)4):但是F粗积分(.(x)p(x)仅是在元素完迁移的意义下的粗积分,也就是说(p(x)d」p(x))仅是在静态意义下的粗积分即在P=1(其中表示迁移信度)意义下的粗积分,那么在β∈[0,1)的情况下粗积分的结构是否还是文献[1】所给出的结构回答是否定的在现实中,更多的事实说明:元素发生的迁移存在一定的随机特征,文献[]并没有讨论。本文在引人元素迁移信度的条件下提出粗积分的概念给出粗积分的一般数学结构(V,△),讨论了2类粗积分的关系,并证明F粗积分(当B=1时)是粗积分的特例,粗积分是F粗积分的推广。为了讨论的方便与知识的完整性将F粗积分7在第1章简单介绍。1F2粗积分约定为了叙述方便在不引起误解情况下,令P()x=m:(p(x)(x)dx=4:((x)收稿日期:20080829基金项目:山东省自然科学基金资助项月(Y200mH0);海南省白然科学基金资助项目(807054)作者简介:苏芬肖(1981-),女,硕士,研究方向为系统聞论与粗系统,Fal: fernxiaosu@mi,sd,cdh,am山东大学学报(理学版)第43卷(∫P.(xdx」(x))(p(x),2p(x):函数等价类x)记(,函数a(),()记作u,v;函数论域x)记作多函数集Q(x)={u(x),u(x},…,u(x)叫}c多(x)记作Q={u1,24|c∫∈F是多上的函数迁移即彐v∈鸟∈Q→f(n)=a∈Q,F=1f1,,…,fn是身上的函数迁移族;q=QU{I∈鸚v∈Q,f(v)=u∈Q,Q={1∈多v∈Q,f)=u∈Q;(R.F)(Q)记作[uy={u1,2,…,4},(R,F)(q)记作[u]={a1,吗2,…,u1},s≤to定义11给定函数论域身上的R函数等价类[u]={a1,a2,…,l,…,un},a'={a1,a2,…,a1}是它的属性集,u1∈[u]具有离散数据分布l1={u1(1),u1(2),…,1(k),…,1(n+1)},这里i=1,2,m;将这m个函数合成并形成数据点(x1,y),(x2,y2),…,(x,y),…,(xn,yn,),其中,v。L4(k),u4(k)≥0,k=1,2,…,n+1。称由 Lagrange.J.L插值公式形成的多项式函数p(x)=,立=2+,x+…-+x(2)是R函数等价类[u]生成的函数。由定义1.1记p.(x),p(x)分别是由[u]-,[u]生成的函数定义12称Vp(x))是函数单向S粗集((R,F)(Q),(R,F)(Q)生成的下近似积分(lowapproximation integral)o定义13称△a(p(x))是函数单向S粗集(R,F)、(Q),(R,F)(Q)生成的上近似积分(uperproximation integral)定义14称((p.(x),△(p(x))是函数单向S粗集(R,F)(Q),(R,F)(Q))生成的F粗积分,简称F粗积分(F- rough integral)定义15称S=△(p(x))-V(p.(x))是函数单向S-粗集生成的F粗积分边界带。定义16称F粗积分(va(p(x)),△(p(x))是(V(p-,(x)),△(p2(x))菱缩,也称(v(p.(x),△(p2(x)是(V(p,(x)),△(p(x).的扩张如果满足:(p.(x)≤(p-a(x)且△(p(x)≤△a(n2(x),记作:(va(p,(x)),4(p1(x))≤(Va(p.2(x),△(p2(x))特别地当(p,(x))=p(x))且△a(p1(x))=△(p2(x))时,称(v(p,(x),△(pi(x))与(v(p2(x),△(n(x)相等记作(V(p,(x)),△(p(x))=(p-(x)),△(p2(x)定理11(F粗积分双中值定理)在区间[a,b]上至少存在一个实数对(c,c-)使得等式(3)成立。(《p.(x),△(p(x)=(p.(c)(b-a),p(c)(b-a)命题1.1F粗积分是牛顿积分的推广,牛顿积分是F粗积分的特例。2粗积分约定[u]=R.(Q)={u1,2,…,},k≤5,[u]=R(Q)={u1,u2,…,},l≤t;8.(x)8(x)分别是[u]和[u]生成的函数;p.(x),p(x)分别是uy和u]生成的函数。[u],[u]是在没有Q之外的元素a迁移到Q中的情况下,即在迁移信度β=0条件下,Q生成的下近似,上近似;[uy,[u]是在有Q之外的元素u完全迁移到Q中的情况下即在迁移信度B=1条件下,Q生成的下近似,上近似由以上分析知命题21当有Q之外的元素u部分迁移到了Q中去时,即在迁移信度∈(0,1)的条件下,一定有u].,[u]存在,其满足:[u]c[u]-.c[uy,[u]s[a]s[u]这里:[u]-p,[u]分别表示由Q生成的下近似(R,F)(Q),上近似(R,F)(Q);也称[u]-,是Q依第12期苏芬肖等:B粗积分信度β生成的下近似简称B下近似,[u]是Q依信度生成的上近似简称上近似;Q表示有Q之外的元素a部分迁移到了Q中去即在迁移信度β∈(0,1)的条件下,生成的函数集其满足:QQ。三Q。命题2.2任意给定月1,月∈(0,1),B1≤A2,存在[u]-,[u]n与[uJ,[aln满足:[u].s[u]-.A[a]-.[uy,且[u]s[u][u[u]定义21称△a]-.为u],的下增集若△[u]-,=[ux]-.\[u];称△a]为u]的序上增集若A[u]=[u][u]显然,当日=1时,[u]-.p=[u],[u]=[a];当=0时,[u]-.p=[a]-,u]=[u],△a]p=引理21设P1(x),P2(x)分别是[u]1,ul2生成的函数,且[u]1c[u]2,则有不等式(4)成立。P1(x)≤P2(x)定理2.1当β=1时,则一定存在函数e(x)≥0,e(x)≥0,使得p(x)=0.(x)+E.(x)),(x)=0-(x)+c(x)成立。证明首先证明e.(x)≥0存在,当B=1时,[u]-,=[uy,又由于[u].c[ay,所以由引理21知θ(x)与p(x)满足θ.(x)≤P(x),令ε(x)=p.(x)-0.(x),则E(x)≥0存在,且有p(x)=6.(x)+E.(x);同理可证ε^(x)≥0存在其满足p(x)=0-(x)+ε^(x)。定理22设p(x)为u].p生成的函数,p(x)为[u]2生成的函数,当∈(0,1)时,则一定存在g(x)≥0,E(x)≥0,使得p(x)=0.(x)+e-,(x),P(x)=(x)+(x)成立。证明首先证明e-(x)≥0存在,由命题21知,[u]c[u]c[uy,所以由引理21知0.(x)与p,(x)满足6.(x)≤P,(x),令Ep(x)=P,(x)-0.(x),则e,(x)≥0存在,且有p,p(x)=0.(x)+e.,(x);同理可证E(x)≥0存在且满足P(x)=6(x)+e(x)定义22称,(x)为x],的下增量函数若c,(x)=p,(x)-0.(x);称(x)为u]的上增量函数,若e(x)=p(x)-6(x);E,(x),ea(x)统称为增量函数。定义23称v(p,(x)是[u].生成的下近似积分简称下积分;称△(p(x))是u]生成的上近似积分,简称B上积分。信度条件下生成的粗积分简称粗积分。在不引起混淆的情况下简记(v,△)R,F)())在定义24称积分对(V(p(x),△(p(x))是函数单向S-粗集((R,F)、(Q),(定义25称S是函数单向S粗集(R,F)(Q),(R,F)(Q))在信度P条件下生成的粗积分边界带简称边界带若S=△(p(x)-Vp.(x)定义2.6给定迁移信度月1,月2∈[01,2个不同的粗积分(V,4:),(V,A)4称B粗积分(V,△)4是(四,△)4在信度条件下的萎缩也称(V,△")是(V,△)在信度条件下的扩张如果满足:(V!)4≤(V且(4%≤(△:)简记:(可4)≤(,、"如果(=(v;且特别地称(v,△)与(V,△2)相等,记作:(V,△2)=(V,△:)(4)=(4:)3粗积分与F粗积分的关系定理31vR1,B2∈[O,1,1≤2,设pn(x),p-,n(x)分别是[u]-n,[a]-,生成函数,P两(x),P再(x)分别是[ul,[ul生成函数,则有不等式(5),6)成立P≤P-(xPA(x)≤P(x)。山东大学学报(理学版)第43卷证明由命题21和22知HR1,B2∈(0,1),月1≤R2,存在[u]-,,[a]与[u]l,[u满足:[u].∈[u]-.A[u]-.鸟s[u],且[u]s[uliS[nl2s[u]’,又因为p-,(x),P,鸟(x)分别是[u]-n,[ul-.生成的函数,p1(x),P2(x)分别是[u]1,[a]l2生成的函数,由引理2.1知,p(x)≤P-n1(x),PA(x)≤P(x)推论31VR1,2∈[0,1,R≤A2,则存在增量函数e-(x),e-,(x)满足0≤c-,(x)≤e(x)推论32V月1,B2∈[0,1],月1≤月2,则存在增量函数E(x),(x)满足0≤EA(x)≤E(x)推论3.1和3.2的证明由定理2.2与定理3.1直接得,证明略。定理32V月1≤2,B1,月2∈[0,1,设p-,(x),PA(x),分别是[u],[u1生成的函数,p-,(x)p(x)分别是[u]-,[ul2在生成的函数则(7)(△pa(x)≤(△p(x)(8)证明由定理31知,pA(x)≤P-,4(x),p(x)≤P(x),利用牛顿积分的性质知:(VPA(x)≤(v(x),(△n(x)≤(△:P(x),证毕。由定理3.1和3.2得:推论33设0≤A≤月≤2≤…≤月≤1,月∈[0,1,eA(x)是[u]-,的下增量函数0,1,2,…,m,则0≤ε.a(x)≤e.A(x)≤…≤E-.(x)≤…≤e-.(x)(9)推论34设0≤≤R1≤月2≤…”≤A≤1,∈[0,1,pP.A(x)是[u]-在信度月的条件下生成的函数,讠=0,1,2,…m,则(vp.A(x)≤Vp-.(x))≤…≤(Vp.(x)≤…≤(Vp-,.(x)推论35设0≤用≤月1≤A2≤…≤An≤1,月∈[O,1],Ea(x)是[u]k的上增量函数,=0,1,2m0≤c4(x)≤E(x)≤“≤(x)≤”≤E(x)(11)推论36设0≤R≤月1≤A2≤…≤R≤1,月∈[0,1,p(x)是[nl1在信度月的条件下生成的函数,i=0,1,2,…m,则(△p(x)≤4:p(x)≤…≤(4.pn(x)≤"≤(△p(x)。推论37设0≤A≤月1≤月2≤…≤R≤1,月∈[0,1,Pn(x),P再(x)是[u]-,[a]在信度月的条件下生成的函数,=0,1,2,…m,则(V,△)(13)推论38(v,△")pn1=(v(p.(x),△(p-(x)定理33(B粗积分的双中值定理)给定迁移信度B∈[0,1],则在区间[a,b]上至少存在一个实数对,c)g使得等式(14),(15)成立。(v)p=p(c.)(b-a),(14)(△4)p=P(c-)(b-a)。(15)简记(V,△)g=(p(c.)(b-a),p(c)(b-a)证明由牛顿积分的中值定理可直接得。推论39给定迁移信度β∈[0,1],则区间[a,b]上至少存在一个实数c和一个实数对(c-,c-)p,使得等式:pi(ce)-p,a(e)=p(c-)-p.,(c.)(或者p(c)-p(c-)=p.(c)-p.(c))成立。证明首先,证明给定迁移信度B∈[0,1],则在区间[a,b]上至少存在一个实数c,使得S=第12期苏芬肖,等:B粗积分])d)?(-v(p.(c)](b-a)成立事实上,设p(x)=P(x)-p(x),由于p(x),P(x)在区间[a,b]上连续,则P(x)在区间[a,b]上连续根据牛顿积分的中值定理知,在区间[ab]上至少存在个实数c,使得S=Pp(c)(b-a)=[(p(c)-(p(c)](b-a)。其次,证明p(c)-p-,(c)=p(c-)-(p-,(c.)事实上由定理33知区间a,b]上至少存在一个实数对(c,c)使得(v)=p,(c.)(b-a)且)g=pa(c)(b-a),所以S=(△2)。-(四)g=[p(c)-p.(e)(b-a)(17)将式(16)代人式(17)得[p(c)-p,p(c)](b-a)=[(p(e)-(pa(c))](b-a)。(18)化简得p(c)-p(c)=p(c)-p.(c.)(或者pi(c)-p(c-)=p-,(c)-p,(c.))证毕。推论310(e-,c-)an1=(c,c)。由定理3.1~3.3和推论3.1~3.10得命题31F-粗积分(当B=1时)是粗积分的特例B粗积分是F粗积分的推广。4结语本文引入迁移信度β∈[0,1],发现在引入迁移信度β的情况下,文献[1-7]提出的F粗积分(v(p.(x),△(p(x))是在元素确定迁移的意义下的粗积分也就是说(v(p.(x),△(p(x))仅是在静态意义下的粗积分,即在β=1(其中P表示迁移信度)意义下的粗积分;针对迁移信度β∈[0,1的情况本文提出序粗积分的概念给出粗积分的一般数学结构(v,△),讨论了2类粗积分的关系证明了F粗积分(B=1)是B粗积分的特例,P粗积分是F粗积分的推广。参考文献[1]于秀清,史开泉函数单向S粗集生成的F粗积分[门.山东大学学报:理学版,2008,43(2):2934[2] 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