λ-格的微分

462010,46(6)Computer Engineering and Applications计算机工程与应用A-格的微分李毅君…2,辛小龙1LI Yi-jun", XIN Xiao-long1西北大学数学系,西安7100692西安石油大学理学院西安710065Department of Mathematics, Northwest University, Xi'an 710069,China2. College of Science, Xi'an Shiyou University, Xi'an 710065,ChinaE-mail:liyijun2009@126.comLI Yi-jun, XIN Xiao-long Derivation of A-lattice Computer Engineering and Applications, 2010, 46(6): 46-4Abstract: The derivation of A-lattice is introduced and some related properties are discussed. Moreover, some results on this sub-ject are also studied with weak regularity and regularity of derivation.Key words: derivation of A-lattice; weak regularity regularity摘要:在λ-格中定义了微分,讨论了相关性质并通过A-格微分的弱正则性和正则性得到了A-格微分的一些重要结果。关键词:λ-格微分;弱正则性;正则性DOI:10.3778/in1002-8331.201006013文章编号:1002-8331(2010)06004602文献标识码:A中图分类号:0242.11引为A-格如果对任意a,b,c∈P满足:近年来由于序与偏序集理论在组合数学Fuxy数学、计算(1)a机科学甚至社会科学中得到了广泛的应用,因而使格论有了(2)ab=b“a,a+b=b+a;较大的发展。1987年至1989年文献1-4在环近似环近似(3)a·((ab)c)=(ab)c,a+(a+b)+c)=(a+b)+c;域素环等代数系统中引入微分的概念辛小龙教授于2004年(4)a(a+b)=a,a+(a·b)=a在文献5中,将微分的概念引入到BCl代数系统中,并讨论了例1如图1所示,P=10,a,b,c,1,由运算表1易验证(P,相应的性质00年在文献6中又将微分的概念引入到格这…,+)是A-格而非格因为(a+b)+c≠a+(b+c)一系统理论中研究了格微分的若干性质得到了一些有价值的结论,并用微分的概念和性质刻画了相应代数系统的结构表1例1中的运算表为研究这些代数系统提供了新的方法和途径。在此基础上将0 4 bc1+0 bc 1微分的概念引入由Ⅴ Spase定义的A-格中,研究了相关性质,00000000abc并通过λ-格微分的弱正则性和正则性,得到了A-格微分的一a些重要结果。0 6 b1 6l11l12A-格设(P,≤)是一有序集对任意a,b∈P,记图1例1中的A格L(a,b)={x∈P;x≤a且x≤b定理1设(P,≤,A)是A-偏序集,则具有两个二元运算U(a,b)={x∈P;x≥a且x≥b“·”、“+"的诱导代数系(P,,+)是A-格,其中ab=A(a,b)定义1带有选择函数A的偏序集(P,≤)称为A-偏序a+b=A(a,b)。集若对任意a,b∈P,L(a,b)≠φ≠U(a,b)且λ满足:定理2设(P,,+)是A-格,则对任意a,b∈P,有(1)A(L(a, b)=A(L(b, a))HA(U(a, b))=A(U(b, a)):(2)若a≤b,则A(L(a,b)}a且A(U(a,b))=b。定义3设(P,…,+)和(S,*,)是两个A-格。如果存在从P以下记Aa,b)=A(L(a,b),A以a,b)=A(U(a,b));到S的映射∫满足并记ab=A2(a,b),a+b=Aab)。凡ab)=f(a)b),八a+b)=八(a)(b)定义2其有两个二元运算”,“+"的代数系(P,,+)称则称是从P到S的A-格同态映射(简称同态)基金项日:陕西省自然科学基金( (the Natural Science Foundation of Shaanxi Province of China under grant N2007/A19)作者筒介:李毅君(1978-),女讲师主要研究方向代数密码;辛小龙(1955-),教授博导,主要研究方向:代数编码。收稿日期:200809-18修回口期:200811-25李毅君,辛小龙:A-格的微分2010,46(6)47当∫分别是单射满射和双射时分别称f是A-格的单同证明充分性设x≤y,则x=xy,dr=d(x"y)=dx·d,所以态、满同态和同构映射。dx≤dy,即d保序义4A-格(P,,+)的一个非空子集/称为P的理想必要性因为xy≤x,x"y≤y而d保序所以d(x"y)≤dr,d(xy)≤dy,即d(x"y)≤dxd;由命题1(2)知d(xy)≥d)∈l,a∈P蕴涵ia∈P;dy,于是d(x"y)=dxdy(2)j∈l蕴涵∈l定理4设d是A-格P上的微分,d是恒等微分的充要条例2如图2所示P=10,a,b,c,d,1,e·d=a,a+b=d,由运算件是d(x+y)=(x+dy)·(y+dx)表2易验证(P,,+)是A-格,l=10,a,b,d是P的理想,而l2=证明充分性,取x=y,d(x+x)=(x+dx)·(x+dr)=x+dx,则10,ae,6}不是P的理想,因为a+bgh2odx≥x;由命题1(1)知dx≤x,所以dx=x,即d是恒等微分。必要性因为d是恒等微分,d(x+y)=x+y=(x+y)…(x+y)=表2例2中的运算表(x+dy)·(y+dx)。0 abc d1+0 abcd定义6设d是λ-格P上的微分,若满足d(xy)≤d+y,000000000abcd则称d是弱正则微分。0定义7设d是A-格P上的微分,若满足d(x+y)=dx6 6006bbbc 0a bc ac ce则称d是正则微分。Noabdddd i d命题2恒等微分是正则微分。图2例2中的A格-10·bc111111证明设d是入-格P上的恒等微分,则d(x+y)=x+y=dx+dy命题3正则微分是保序微分。3A-格的微分证明设d是λ-格P上的正则微分,设x≤y,则d=(x+y定义5设(P,,+)是入-格,d是从P到P自身的一个映dx+dy≥d,即d保序。射若满足恒等式定理5设d是A-格P上的弱正则微分,则下列条件等价x y)=(x dy)+(ydx).P(1)d保序则称d是A-格P上的微分(2)d是同态;例3如图1所示,在含有最小元0和最大元1的A-格(3)d是A-格P上的正则微分。(P,,+)上定义映射d为:证明(1)→(2),因为x≥x,x+≥y,而d保序则dx+)≥dx+dy;又因d是弱正则的,即d(x+y)≤dx+dy,所以d(x+y)另一方面由命题2知d(xy)=dxdy,所以d是同态容易验证d是A-格P上的微分(2)→(3),因为d是同态则d(x+y)=dx+dy,由定义7知d例4设d是含有最小元0的A-格P上的映射若对任意是A-格P上的正则x∈P,dx=0,则d是P的微分此时称d是P上的常量微分。(3)→(1),由命题3得证例5设d是A-格P上的恒等映射,则d是P上的微分此时称d是P上的恒等微分5结束语例6设d是A-格P上的微分,对任意x,y∈P若x≤y→在A-格上引入了微分,并研究了相关的性质。如何以微分d≤y,则称d是P上的保序微分简称d保序为工具来研究格与A-格之间的关系是值得继续研究的一个问题4A-格微分的性质命题1若d是A-格P上的微分,则参考文献:(1)dx≤x;[1] Bell H E, Kappe L C Rings in which derivations satisfy certain(2)(dx)·(dy)≤d(xy)≤ dx+dy;algebraic conditions[J.Acta Math Hungar, 1989,53: 339-346.(3)若P含有最小元0和最大元1,则d0=0d1≤1;[2] Bell H E, Mason G On derivations in ring, near-rings and near(4)若l是P的理想,则dl。dies,1987,137:31-35.证明(1)因为d(x·((xy):x)d(xy)…x)=d(xy)= [1 Kaya K Prime rings with a derivation( J Bull Mater Sci Eng,1987-(x*dy)+(ydx),则dx=d(x"x)=xdr+xdx=x:dx,所以dr≤x1988,1617:63-71.(2)因为d(x"y)=(x4y)+(y·dx),x*d≤d,y·d≤d,所 Posner E Derivations in prime rings[] Proc America Math Soc,957,8:1093-1100以d(x"y)≤dx+dy;又因为dx"y)≥xdy≥dxd,故(ax)(dy)≤[5] Jun Y B Xin X LOn derivations of BCI-algebras [J]. Informationd(x"y)≤ dx+dySciences,2004,159:167-176(3)设0,1∈P由(1)知d1≤1,40≤0易知d0=0(6) Xin Xio-long, Li Ti-yao, Lu Jing-hua On derivations of lattices](4)任取y∈d,则存在x∈l使得y=dx,由(1)知y=d≤x,Information Science, 2008, 178(2): 307-316.而I是理想故xy=y∈l,即dIslSnasel V Moravec P Relatively complemented A-lattices([J].Acta定理3设d是A-格P上的微分,则d保序的充要条件是Univ M Belli Math, 2005. 12: 79-83d x,y8]鲁静华格及超格若干专题研究D」西安:西北大学2006