少体硬球系统的动力学与统计研究

第54卷第6期2005年6月物理学报1000-3290/2005/5406y25520ACTA PHYSICA SINICA⊙2005Chin.Phys.So.少体硬球系统的动力学与统计研究*付文玉侯锡苗贺丽霞郑志刚北京师范大学物理系北京100875)004年8月18日收到2004年11月8日收到修改稿)研究了少数几个封闭于箱子中的硬球组成的系统的动力学与统计行为.着重研究单粒子位形空间的碰撞分布计算表明硬球的半径较小时单粒子统计分布函数在空间主要是均匀分布着半径的增大均匀分布部分逐渐减小,当硬球半径与箱子尺寸比值超过临界值时单粒子分布函数呈现双峰形式,还利用少体硬球系统模拟布朗运动研究表明当硬球系统作为介质时系统不存在扩散过程发现大粒子的平均平方位移与时间是平方关系,说明大粒子在硬球介质中的输运是弹道输运过程关键词:硬球,动力学,布朗运动,遍历PACC 0500引言另一方面热力学体系非平衡性质与微观动力学特征之间的关系研究近年来成为新的热点.一方面统计力学的研究对象——热力学系统的一个根人们探讨了热力学系统的输运系数的规律以及它们本特点就是热力学过程的不可逆性1]不可逆性在与非线性动力学指数如李雅普诺夫指数KS熵分热力学上由第二定律给出而其微观动力学根源迄今维等之间的关系,并已经取得了丰富的成果61.另为止一直是统计力学中一个古老而重要的问题.在牛一方面对非平衡问题的研究如小体积的的非平衡顿力学的框架下系统的几率分布演化由刘维定理给过程如热传导、扩散、自由膨胀、绝热压缩等这些研出了可逆的描述. boltzmann推导出稀薄气体单体约究中很多问题尚不清楚特别是系统遍历性在其中的化概率分布的演化方程并推导出H定理使我们从作用少体系统的热力学定律成立与表现等问题.这统计层面上看到了不可逆性.为了从动力学上解释这些研究有助于从微观动力学上理解宏观非平衡过程定理, boltzmann提出了遍历性假说2].遍历性理的起源值得引起注意论架起了从动力学向统计过渡的桥梁.二十世纪非线动力学与统计的关系问题研究中一个非常经典性动力学和混沌的硏究使人们对动力学系统的统计且有效的模型是硬球系统η8).本文将研究几个封闭特征有了深一步旳理解在此期间遍历性、混合性、K于箱子中的硬球组成的系统的动力学与统计行为.我流等不同概念提了岀来3研究表明动力学系统的们首先研究单粒子位形空间的碰撞分布.研究表明全局性混沌是系统统计成立的根本要素.在此意义碰撞分布可以分为几个区域.当硬球的半径较小时,上系统的无限大自由度已不是决定性的因素.人们单粒子统计分布函数在空间主要是均匀分布随着半已建立了少自由度系统的统计力学及热力学4遍径的增大均匀分布部分逐渐减小.当硬球半径与箱历性理论也不仅仅是数学家们的研究对象,它也为物子尺寸比值超过临界值时单粒子分布函数呈现双峰理学家理解热力学系统中的许多问题如相变玻璃形式田八砸琙玄统模拟了大粒子在小态等提供了新的启示561硬球中国煤化工发现硬球系统不存在扩散CNMH应子平均国家重点基础研究规划973项目批准号x2000077304),全国优秀博士论文作者专项基金批准号200120),教育部青年教师奖专项基金项目(批准号209)高校博士点基金批准号027011)霍英东教育基金会(批准号81006)北师大本科生研究基金资助的课题Emai7方数揭 bnu. edu. cn6期付文玉等少体硬球系统的动力学与统计研究2553平方位移与时间是平方关系说明大球在小球碰撞下是典型的弹道输运过程3.空间碰撞分布2.硬球模型硬球系统动力学硏究中最重要旳就是碰撞过程我们关注硬球碰撞时的空间位置分布.以x分量为硬球系统由局限在一个长度为L的箱子中的N例我们研究其中一个硬球的空间碰撞位置分布P。个相互弹性碰撞、半径为R的硬球组成如图1所(α)以前我们研究过硬球的空间位置分布并且对示.系统的哈密顿可以写为于N=2的情形可以给出相应的解析表达式9对碰/2撞分布碰撞时的两球的质心位置需满足条件|r|=2R因此一球的分布要取决于与其碰撞的另一球的这里m;代表第i个硬球的质量;为其速度我们假位置另外在器壁附近球的位置分布也必然与器壁定硬球之间、硬球与器壁之间的碰撞都是完全弹性有关系.这样解析的求解是较为困难的但不难数值的所以对球一壁碰撞我们有→-ⅵ其中α代上进行统计实际上虽然我们无法解析求解但基本表垂直于器壁的方向对球-球碰撞碰撞前后的总上可以把单粒子碰撞位置分布分成以下几个区域动能和总动量守恒.讠,j球碰撞后的速度为(1)自由区批此区中一球的位置分布并不明显依赖于另外与其碰撞的球故分布为均匀的,P(x)P0.这个区通常在容器中央区域且当球比容器尺寸)产(2)小很多时存在(2)禁飞区在非常靠近器壁的地方当一个球其中M=2mmKm;+m)为约化质量r=r/r为单位矢量这里r=r1-r为两个硬球质心间的方在的时候另外一个球就不能从靠近器壁的区域通向矢量.硬球系统看起来很简单动力学上却是非常过此时的分布为Px)=03)关联区迕在离开器壁相对较远但两个球仍然复杂的研究已经表明在二维和三维空间中运动的相互影响很大的区域分布可能为较复杂的形式硬球系统只要N≥2就是遍历的K系统并满足全图2给出了当N=2,L=10,m1=m2情况下不局混沌9.在此基础上我们可以建立少体系统的统同半径硬球系统的空间碰撞分布.我们假定容器的区计力学和热力学我们曾详细研究了硬球系统的速域为xyκ)([0,L][0,L][0,L])可以清楚度、空间位置平衡态的统计分布并用少体的玻尔兹曼熵研究了向由非平衡态平衡态的演化9我们还看到上面所提到的三个区域禁飞区满足x∈[0,R或L-R,L]自由区位于x∈[3R,L-3R]R越研究了少体硬球的热力学第二定律0.最近几年硬小自由区越大这从图xa)(d)可以清楚观察到球系统还被用来研究热传导问题1.下面我们以空当3R≥L-3R即R≥R2=L/6时自由区将消失间三维硬球系统为例进行讨论对于我们的参数,R。=5/3≈1.666…在位于[RL3R吸其L-3R,-R的区域分布为直线,为关联区.在x=R或L一R处分布不连续随着靠近中央区域分布概率线性增加说明碰撞发生于中部的机会更大.这是比较容易理解的.当自由区消失后从图xf河看出在中央区域出现了一个低谷在此处的碰撞机会相对较小分布岀现双峰结构.这是因为硬球很大时球基太上被后限于一个角落很难越过去所中国煤化工碰撞的机会较小CNMHG不同对空间碰撞位置图1硬球模型示意图的影响.图3给出了不同质量比时的碰撞分布左边2554物理学报54卷是质量大的球右边是质量小的球.当球的半径较小有影响这是因为小球碰撞后会具有很大的运动速时如图3(a),(b)可以看到质量比的大小对分布没度因而在一段时间内可以很快达到遍历分布洏而大有明显的影响而当球的半径较大时大的质量比对球则每次与小球碰撞得到较小的速度改变运动缓大球的碰撞位置分布就较大而对小球分布基本上没慢因而分布远未达到遍历分布0.00100.00050.000u0.0010R=1.01.5s0.00050.00000.0010R=1.7R=2.0图2等质量硬球碰撞空间分布0.00100.0005R=1.70.00000.00100s00075R2.0(c0.00050图3不同质量比下大球和小球的碰撞位置分布4.用少体硬球模拟布朗运动这里我们用硬球来进行类似的模拟研究系统的输运过程.我们关心用少量硬球能否模拟随机噪声的布朗运动描述了大颗粒在液体中的无规则运动.影响.设所有硬球具有同样的半径但有一个硬球具液体分子对大颗粒物质的频繁碰撞产生随机力使得有非中国煤化工球产生对大球的频繁大颗粒产生扩散性的运动.考虑一个质量为m的大碰撞CNMHG子的角色,提供随机颗粒在随机力下的运动力)为了方便我们使用周期边界条件即假定大球m+5(t)3)遇到容器边界就进入一个新的完全一样的容器而在这里η为阻尼系数,(t)为强度为kBT的白噪声.每个箱子中有数目固定且相同的小球这样球的密度布朗运动的搜趣系数D满足爱因斯坦关系:D=是固定的为了考察扩散性我们可以计算大球的平6期付文玉等少体硬球系统的动力学与统计研究2555均平方位移〈△r(t)随时间是平方的关系即a≈2这一结果说〈Δr(t)》〓〈r(t)-r(θ)≡2D,(4)眀少体硬球系统不能很好模拟布朗运动大球的输运过程不是扩散过程,而是弹道输运.图4的小图给10°-0一R=0.1出了系数D随球半径R的变化关系.可以看到当球0一R=0.3△-R=0.5半径较小时大球的弹道输运系数基本不变;当球半R=0.6径变大时系数D在R>0.6时迅速变小.大球在小sR=0.70球系统中的弹道输运说明少体硬球系统虽然可以具有很强的混沌性,但还无法很好模拟完全随机的噪声要实现扩散型的输运我们还需要更多的硬球数0.030目a4a。5.小结0200本文研究封闭区域中的少体硬球组成的系统的图4大球平均平方位移随时间的变化小图为D与球半径的动力学与统计行为对单粒子位形空间碰撞分布的研关系究表明碰撞分布可以分为几个区域这些区域随硬球半径的增加而发生变化或消失.当硬球半径较小时单粒子统计分布在位形空间大部分是均匀分布其中上面是系综平均即对于大量随机初始条件进行随着硬球半径的增大这些均匀分布部分逐渐减小平均.0≤α≤2是标度指数.当α=1时,系统输运是扩散性的,D为扩散系数当α=2时系统输运是弹直到硬球半径与箱子尺寸比值超过临界值时单粒子分布函数会呈现双峰形式.还我们用少体硬球系统道性的D与弹道运动速度成正比模拟了大粒子在小硬球体系当中的无规运动.计算发在图4中我们计算了大球与小球质量比为100现硬球系统不能很好模拟布朗运动不存在扩散过1容器长度L=5每个容器有3个小球时大球的平均平方位移.可以看到K△r(t)》随时间的长时间程大粒子的平均平方位移与时间呈现平方关系,说明大球在小球碰撞下是典型的弹道输运过程变化并不是线性的.我们仔细研究发现,[ 1] Reichl L E 1980 A Modern Course in Statistical PhysicsCaiani L, Casetti L, Clementi C and Pettini M 1997 Phys( Austin Univ. Texas Press[ 2] Krylov N S 1979 Works on the Foundations of StatisticalCasetti L, Clementi C and Pettini M 1996 Phvs. Rev, E 54Physics( Princeton, NJ Princeton University Press5969[3] Zaslavsky G M 1987 Chaos in Dynamic Systems London[7 Li H, Cao Z and Hu G 2003 Phys. Rev. E 67 041102Harwood Academic Publishers[8] Munakata T and Hu G 2002 Phys. Rev. E 65 0661044] Zheng Z G 2004 Spatiotemporal Dynamics and Collective [9] Zheng Z, Hu g and Zhang J 1996 Phys. Rev. E 53 3204Behaviors in Coupled Nonlinear Systems( Beijing: Higher[10] Hu G, Zheng z, yang L and Kang W 2001 Phys. Rev. E64Education press郑志刚2004耦合非线性系统的时空动力045102学与合作行为北京高等教育出版社)[11] GendelmanOV and Savin A V 2004 Phvs. Rev. Letr. 92[5] Palmer PG 1982 Adv, Phys. 31 669[6] Franzosi R and Pettini M 2004 Phys, Rev. Lett, 92060601Franzosi R, Pettini M and Spinelli L 2000 Phys. Rev. LeTYH图牌Savin A V,TsironisG P and Zolotaryuk A V 2002 Phys. ReyCasetti L, Cohen EG D and Pettini M 1999 Phws. Rev. Lett物理学报54卷Dynamics and statistics in few-body hard-ball systemsFu Wen-Yu Hou Xi-Miao He Li- Xia Zheng Zhi-cReceived 18 August 2004 revised manuscript received 8 November 2004)e dynamic and statistical properties of several hard balls restricted in a box are studied. The collision distribution inconfiguration space is main object of the research. Numerical simulations indicate that the distribution function is uniformhorizontal line)when the radius of balls is very small. This uniform part decreases with increasing size of the balls and adouble-peak distribution is found when the radius exceeds a critical value. Brownian motion is simulated by using hard-ballsystems. It can be found that the mean square displacement is proportional to the square of time i e. the transport processdominated by ballistic transporan aa diffusion behasaviorKeywords: hard balls dynamics, Brownian motion ergodicityPACC 0500Project supported in part by the Special Foundation for State Major Basic ReseatH中国煤化工CNMHG2000077304),the NationalFoundation for the Author of Excellent Doctoral Dissertation of China( Grant NO. 200120, the I'RAPOY'I in Higher Education Institutions ofMOE Grant No. 209), the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China( grant No. 20020027011), theFok-Ying-Tong Education Funds for Excellent Young Teachers( Grant No. 81006),and the Fund for Undergraduate Students of BNUAuthor of Correspondence. E-mail zgzheng bnu.edu.cn