Kaplansky变换及其应用

2006年7月四川师范大学学报(自然科学版)july 2006第29卷第4期Journal of Sichuan Normal University( Natural ScienceVol 29 No 4Kaplansky变换及其应用毕公平,王芳贵四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066)摘要刻画了 Kaplansky变换的基本性质描述了 Kaplansky变换在υ-凝聚整环Moni整环及SM整环上的一些应用证明了若R是拟Ω整环则R是UMT整环从而R有PVMD的-整闭包及伪整闭包即R及R是PⅤMD关键词-凝聚整环;Mσni整环;SM整环;拟Ω整环中图分类号153.3文献标识码:文章编号1001-83952006)40387050引件即R的每个理想是有限型的3已知 Noether整环 Krull整环及 Dedekind整环均为SM整环SM整以下恒设R是具有单位元的交换环K是R的环是Mori整环且Mori整环是υ-凝聚整环.商域.F(R)表示R的所有非零分式理想的集合对在文4]中M. Fontana和E. Houston定义了∈R)l=()且=UJ其中/取遍/的Naga变换即设是R的非零理想则R的扩环有限生成子理想若I=(=l)则/是一个u-理TK1)=∪[R!]=想(t-理想)Ⅰ是t有限型的-有限型的)是指{x∈K存在正整数n使得x/gR}J,=J(l=J=J,)其中J是的某个有限生称为理想Ⅰ关于R的 Nagata变换.在文[5]中成子理想.显然/是t-有限型的等价于是t-有限型的沮且/是t-有限型的-理想等价于/是v-有限型Wang fang-gui讨论了 Nagata变换的基本性质,并刻画了 Nagata变換在Mori整环及SM整环上的应的υ-理想.υ-算子与t-算子都是星型算子的例子.关用得到了一系列很好的性质.本文受此启发,讨论于星型算子的例子还有-算子1我们称丿是R的个GV-理想是指J是R的一个非零有限生成理了一个比 Nagata变换更广的 Kaplansky变换.在文想且满足厂=R记为J∈CR)设M是个[6]中设/是R的非零理想 Kaplansky定义了R的扩环无挠模集合1)={x∈K!对任何a∈I存在正整数M=x∈kM|存在n=Kax)使得xa"eRJ∈GR)使得JxM}这个扩环在文[4]被称之为理想Ⅰ关于R的称为M的-包络M是有限型的是指M=N其 Kaplansky变换同时我们描述了 Kaplansky变换在中N是M的某个有限生成孑模若M=M。则称Mr-凝聚整环Mor整环及SM整环上的应用.在此基是-模如果M是R的一个理想且M。=M则称M础上定义了拟Ω整环即R的每个w-扩环均为R是一个w-理想的某个理想的 Kaplansky变换.这是一类比Ω整环个整环R是υ凝聚整环是指对R中的任何(即R的每个扩环均为R的某个理想的 Kaplansky有限生成分式理想B,有B-是拟有限的等价而变换)更广的环类显然!整环是拟Ω整环言有Bˉ是υ-有限型的一个整环R是Mon整环,之若R既是TL整环又是拟Ω整环则R是Ω整是指R有关于v-理想的升链条件等价而言是指R环的每个非零理想是t-有限型的2.类似地称一个包中国煤化工不则R有Puer整闭CNMHG整环则R是UM整整环R是SM整环是指R有关于l-理想的升链条环从A号"、m以闭包及伪整闭包即R收稿日期2005-05-25基金项目国家自然科学基金10271052)和四川省应用基础研究基金资助项目*联系作据芳贵1955)男教授388四川师范大学学报自然科学版)29卷及R是PVMDIB)证明(1)aB)=从1)当且仅当1∈1 Kaplansky变换的基本知识ⅠB)当且仅当对任何a∈Ⅰ存在正整数n使设是R的理想在文6]中 Kaplansky定义得a"∈B当且仅当/c√B了R的一个扩环(2)设x∈A则对任何a∈Ⅰ取正整数n使1)={x∈K|对任何a∈存在正整数得xa"∈R.注意xa"∈A因此有xa"∈A∩Rn=ax)使得xa∈R故x∈IB)这个扩环在文4中被称之为/的 Kaplansky变换命题13设PP1P2是R的素理想且/gP显然当1=0时)=K.PI P2对K的任何R-子模B也定义(1)IP)是Ω1)的素理想且a/P)∩ⅠB)={x∈K|对任何a∈Ⅰ存在正整数R= Pn=n(ax)使得xa"∈B(2)IP1)=IP2)当且仅当P1=P2特别地取B=R前面的(1)就是aIB)证明(1)由命题1.2队IP)≠)设x,命题1.1设BB1B2是K的R子模n∈K,y∈1)xy∈P)则对任何a∈/有正整数(1)若B1sB2则IB1)saIB2);mnk使得x"∈Rma"∈R且xya∈P.于是(2)IB1∩B2)=〖IB1)∩IB2)(xa")ya)=xyam∈P.故或者xa"∈P或(3)1HB)=uB)者y∈P即x∈级P)或者y∈/P)因(4)设B是R的分式理想则(IB)是1)此有ⅠP)是1)的素理想的分式理想显然有PsΩP)∩R.另一方面,设x∈(5)设B是R的有限生成分式理想,且 BC I P)∩R由于gP故存在一个a∈P.取正1)则B,s1)整数n使得a"∈P.我们有x∈P因此有ΩIP)(6)1)是R的v-扩环于是若J∈GVR),∩R=P则必有J(1)∈GV1))(2)设P)=P2)则由1)有P1证明(1)与3)是显然的P1)∩R=P2)∩R=P2(2)虫1),有B1∩B2)sa1B1)∩命题1.4设B是R的理想,ⅠB2)反之设x∈IB1)∩aIB2)则对(1)√级IB)=B)任何a∈可选择适当的正整数n使得xa"∈B1,(2)若B是准素理想且IgP=B则(IB)xa"∈B2同时成立于是有aIB1)nxIB2)是g1)的准素理想B1∩B2)证明(1)容易看到,(B)∈AB)(4)取u∈Ku≠0,使得uBR,由1)与(3)有uB)sa)故1B)是1的分反之没x∈B)对任何a∈取正整数n式理想使得xa"∈√B.从而又有正整数m使得x"am∈B.(5)设B=(b1mb)则对任何a∈1可选于是有x∈√/B)从而得到取适当的正整数n使得b,a"∈Ri=1,,p.于是MIB)=INB)有a"BsR由此有aBR故Bs1)(2)由命题1.3,ⅠP)是1)的素理想(6)设B是1)的有限生成R子模由5),由政H中国煤化工设x∈a1)xgBnCB.c1)故1)是R的-扩环CNMH可a∈l取合适的正整命题1.2(1)设B是R的理想则aIB)数n使得xa"∈Rwa"∈Rxya"∈B.由xa"gP1)当且仅当I√B.因此若B是R的一个素理我们有ya"∈B.因此有y∈IB)故IB)是想则B)≠()当且仅当ⅠgB)的准素理想(2)使有獎x1)的理想B=A∩R则Ac命题1.5(1)设A是Ω1)的素理想且Ig第4期毕公平等: Kaplansky变换及其应用389A∩R则A=IA∩R)(2)设x∈(B1))则xB≤I)由于B(2)设P是R的素理想且/gP.则h(IP)是t-有限型的故存在B的有限生成子分式理想htPB使得B0)=B,从而B)=B.由于B是证明(1)令P=A∩R设x∈级IP)取有限生成的且 xB CxB c1)故对任何a∈la∈P及正整数n使得xa"∈PsA.由agA及存在正整数n,使得xa"B。CR.因此有xa"∈A是素理想有x∈A.因此有A=XIP)(B0)=B从而有x∈IB1)B1))(2)由命题1.3知hP≤hIP)现设AC三1B)于是得到An1C…CA1CAn=ⅠP)是以1)的素理想ⅠB1)=(IB))=(B)链记P=A1∩R由1)有A1=IP1)仍由命(3)由2)即知题1.3有PCPn1C…CP1CP0=P是R的素(4)(B))=1)当且仅当IB)理想链.因此有hIP)≤htP=a1)由命题1.2当且仅当/√B命题1.6设B是K的任何R子模则推论2.2设B是R的有限生成理想.若BⅠΩIB))=IB)是v-有限型的则BI)∈G))当且仅当证明由命题1.1有B)ΩI以IB))反之,设x∈I从IB))则对任何a∈I√B.众所周知R是v凝聚整环是指对R的每存在正整数n使得xa°∈/B),从而又存在正个有限生成分式理想B有B是拟有限的等价而整数m使得xam∈B故有x∈IB)从而得言有B是υ-有限型的从而有下面的推论到级I从IB)=B)推论2.3设R是υ-凝聚整环B是R的有限命题1.7设{B1|i∈T}是K的一簇R子生成理想.则B1)∈GV(1)当且仅当模且B=∪B,也是K的R-子模则c√BMIB=UmIB推论2.4设R是υ-凝聚整环n是正整数证明由B1CB有B1)s1B)从而(/)=B其中B是R的有限生成理想则有∪B1)三ΩIB)令一方面,对任何x∈B)∈GWa))定理2.5设R是υ-凝聚整环B是R的分式ⅠB)及任何a∈Ⅰ存在正整数n使得xa"∈B.理想则队IB1)=(IB))=(B1))从而不妨设xa"∈Bk∈厂于是有x∈B)由此若B是R的理想则ax1B)是a(1)的t理想得到a(B)gUB1)证明设A是ⅠB1)的有限生成子分式理2 Kaplansky变换的应用想记A=(a1灬…,a,)对任何a∈I取正整数n使得a"a∈B.令B0=Ro1+…,+Ra,则定理2.1设B是R的分式理想则a( Bo)C(B)=B(1)ⅠB1)c(aB))c(B));因此有(2)设B是R的v-有限型的分式理想则I(Bo).CnIB,B-)=(aIB))=(B1))由定理2.1与命题1.6有(3)设B和B都是R的t有限型的分式理A,=(B0D))=I(B0))C想则队IB,)=(IB))=(B));Ⅹ/B,))=B,)(4)设B是R的v有限型的理想且B是v故/B)是a)的理想有限型的账1B)=1)当且仅当cB凵中国煤化工B的有限生成子分式证明(1)设x∈1B)∈段1B)则理搏CNMHG有对任何a∈I存在正整数nm使得x"∈B-(B1))s(1B))C1B)=∈B.于是有xyam∈B-BsR,因此有xy∈U1J)=∪(J1))(B))1)故x∈(IB)).由于BI)sIB)因此有有1数据(B1)B)=(1B))=(B1))390四川师范大学学报自然科学版)29卷定理2.6设R是υ-凝聚整环A是Ω1)的非a1P)≠Ω)及IP)是1)的真t-理想这零理想B=A∩R也与A的极大性矛盾故B是中的极大素t-子理想(1)A,=IB,)定理2.9设R是v-凝聚整环则/)也是v(2)若A是1)的t-理想则B是R的t-理凝聚整环想且A=IB)=(B))证明设A=(a1r…a.,)是a)的有限生(3)设/是R的-有限型的理想A是)的成非零理想B=Ra1+…,+Ra,则A=B)由理想则A=B)=(B1)定理2.1A=B)由于R是-凝聚整环(4)设/是R的t有限型的理想,则A=我们有B1=J其中J是R的有限生成分式理想(1B))n又由定理2.1有证明(1)由B1)sAgΩIB),有A=a(IB-)=1J)=(J))B1))sA(以IB).故A1=1B,)故1)是v-凝聚整环(2)由A=B)=(BD)),于是有B定理2.10设R是Mori整环则/)也是sA∩R=B从而有B=BMori整环(3)设J=(a1灬…μ,)是的子理想使得J证明设A是Ω1)的t-理想B=A∩R.由1,设x∈以lB)则可以选择适当的正整数n,定理2.6B是R的t理想且A=(B)由于R使得xa∈Bi=1…s.于是有xsB.从而有是Moni整环故B=(B)其中B是B的有限生x严"级1)SB)sA.由推论2.4J1)∈成子理想由GW(1))从而有厂1)∈GV(以1))故x∈A=I(B0))=(B0))B1))A从而得到有1)是Mori整环A=mIB)=(BI I))定理2.11设R是SM整环则1)也是SM(4)设B′=A∩R虫3)知A以B)整环B′)=A因此有A=(B))n证明设A是1)的任何w-理想由文7]B推论2.7设R是υ-凝聚整环B是R的理想=A∩R是R的w-理想由于R是SM整环故有B的若Ⅰ是R的t-有限型的理想则ⅠB)s(1,有限生成子理想B。使得B=(B).由定理2.6B))从而有IB))=(IB))A=1B)=(B1))证明令A=(IB))B′=A∩R.则B′下面证明A1=(B0))即A是w-有限型是R的v-理想且BcB′从而有的于是得到/)是SM整环设x∈B)则xⅩ/B)sB")=A=(1B))m=b,a;h,∈Bn1∈1)取J∈GWR)使得对定理2.8设R是-凝聚整环/是R的极大t所有的i,有Jb≌B,于是有JxsB(1)由于理想设A是Ω1)的极大t-理想B=A∩R.则1)∈GV(g1))有x∈(B0(1))故Bx)1)若BgⅠ则B是R的极大t-理想C(B0D)n从而有(2)若Bc/则B是包含在/中的极大素t-子A=(B1))=(B01))理想在文4]中M. Fontana和E. Houston定义了证明(1)由定理2.6B是R的t-理想且AΩ整环,即R的每个扩环均为R的某个理想的ⅠB)若有R的极大μ-理想M使得BcM.我 Kaplansky变换而且还证明了若R是整环则R们有M≠K因为/是R的一个极大理想且Bg有 Prufer整闭包为了更好地研究』整环,下面定1)队从而/gM(因为/与M均为R的极大t-理想)义中国煤化工整环则由命题1.2与定理2.5M)是1)的真tCNMHG拟Ω整环是指R的理想由命题1.3A=Ⅸ/B)CΩⅠM)这与A每个w-扩环均为R的某个理想的 Kaplansky变换的极大性矛盾故B是R的极大t-理想由定义知道Ω-整环是拟Ω整环.反之,若R(2)由巛ⅠB)=A≠级)有BC.若有R的是TL整环也是拟Ω整环则R是Ω整环素理想褥BCPC由于A=(B)c定理2.13设R是拟Ω整环则R是UMT整环第4期毕公平等: Kaplansky变换及其应用391证明设M是R的极大-理想K是R1在文[9]中D. Anderson E.G. Houston及的扩环则T是R的t-扩环.由于R是拟Ω整环,M. Zafrullah定义了伪整即u∈k在R上伪整是故T是R的某个理想的 Kaplansky变换因为对任指存在R的某个非零有限生成理想l,使得u意s∈R-Ms在T中可逆从而有(等价而言1c1)01.K中所有在R上伪整T=(T)M= Ty=t的元素集合称为R在K中的伪整闭包记为R.同时从而T是R的某个理想的 Kaplansky变换.则由文还证明了若R是UMT整环则R是PⅤMD.从而有[4]知T是Rn的某个理想的 Kaplansky变换从而下面的推论R是Ω整环.又由文4]知R有 Pruifer整闭包推论2.15设R是拟Ω整环则R是PⅤMD从而由文8]知R是UMT整环推论214设R是拟Ω整环则R"是PVMD参考文献I 1 Wang Fang-gui. On induced operation and UMT-domaind[ J ]. J Sichuan Normal University :Natur Sci 2004 27(1):1-9〔王芳贵.诱导算子与UMT整琛英辶J]四川师范大学学报自然科学版2004271)1-9.)[2 Wang Fang-gui. Modules over R and RiX IJ]. 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Pseudo-integrality[ J ] Canad Math Bull 991 34 15-22[10]刘妮.两类代数υ omain范畴的等伉J]西南师范大学学报洎然科学版200536)960-96Kaplansky Transforms and Their ApplicationsBI Gong-ping, WANG Fang-guiCollege of Mathematics and Software Science Sichuan Normal University, Chengdu 610066, SichuanAbstract in this paper, the basic behaviors of the Kaplansky transformations are characterized some applications of the Kaplan-sky transformations in u-coherent, Mori and SM domains are described respectively. It is proved that if R is quasi 22 -domain then R isUMT-domain, so r and R are PvmdKey words y-coherent domain Mori domain SM domain Quasi 22-dom2000MSC:1305编辑余毅)H中国煤化工CNMHG