向量在解题中的应用

2012-02教学尖践向量在解题中的应用文慧向量是研究几何学的重要工具,也是近代数学中最有用的代:(Ⅱ)由(I)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)数结构之一向量理论除了在数学中有着广泛的应用外,在其他学:于是,E·E=(-1,1,1)·(-1,-1,0)=0,AE=(0,0,2)科中的应用也越来越广泛向量不仅是应用广泛的知识也是进一(-1,-1,0)=0步学习数学的基础(如为学习三角、复数、解析几何等作准备)ED⊥平面AAE,又ED⊥平面AED,平面AED⊥平面AAE向量既能体现“形”"的直观的位置特征,又具有“数”的良好的:又平面AED∩平面A配E=AE,点A1在平面AED内的射影运算性质所以它是数形结合和转换的重要桥梁它的主要价值体;K在AE上现在几何中,使得在解决几何问题时,可以减少烦琐困难的逻辑推设A=AE,则A试=A+A:=(-A,入,入-2)理过程因此,用向量法解数学题往往可以收到化繁为简、化难为由A区AE=0,即易和综合应用的效果然而,现行的高中教材中向量部分的内容仅限于介绍向量的一些基本概念和基本运算而对用向量来解决;A+42,解得入=3数学问题则很少涉及牛顿说过:对于数学,有时例子比定理更重要以下就对有关问题给出向量解法AK=(-2、用向量法解决立体几何问题所以,A1到平面AED的距离为2Y6近几年来,由于高考命题倾向于新教材的改革,因此,善于运用空间向量来解决立体几何的问题成为高考命题的热点之一当:本题若用常规解法来做其辅助线面很难想到因而在高考然,高考中的立体几何解答题一般都是“一题两解”的类型中用常规解法的学生得分几乎为零;而用向量法来解,则可避开这例1如图1,在直三棱柱ABC-ABC1中,底面是等腰直角三一困难把复杂的难以想象的问题转化为代数运算简化了推理论角形,∠ACB9,侧棱A1=2,D、E分别是CC1和AB的中点,点:证的过程,优点不言自明E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.二、用向量法解解析几何问题(I)求AB与平面ABD所成角的正弦值·解析几何综合题是高考必考题型之一,其特点是条件多、设问(Ⅱ)求点A:到平面AED的距离多、涉及的知识点多,因此,解此类题时,需要善于捕捉关键的信息来探明题意、思路,善于进行数形之间的转化例如,对于解析几何中图形的重要位置关系—平行、垂直、共线等,以及数量关系(距离、角等),就可以通过向量的运算来进行请看下例:例2设点A和B为抛物线y2=4x上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB于点M,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线试用向量法解之解:(I)联结BG,则BG是BE在平面ABD内的射影,所以∠A1BG就是AB与平面ABD所成的角如图2所示建立坐标系,原点为O设CA=2a,则A(2a,0,0),B(02.0.0.0.).A(202).Ea,a:),c(32,'3解:设M(x,y),A(4,4t1),B(4i,42)其中x0,t≠0且41≠tCE《号33),B0,2,1)则有O=(4,41),O=(4,42),OM=(x,y),Ad=[4日-日),4(1)]cE⊥B,:OA⊥0,4·4CE由2≠0可知OM⊥AB,x4(-)+y4(-1)=0BA=(2,2,2)=(3,)由t≠t可知:1+=-x(2)14又A、B、M三点中国煤化工(x42,y-42)cos∠A,BC=BABC由共线向量的充CNMHGAB与平面ABD所威的角是正弦值为y即有:x-(t1+2)y+4=0(3)将(1)(2)代入(3)式,即可得点M的轨迹方程为:(x-2)2+y2=教学宾践2012-024(x>0)它表示与y轴切于原点的一个圆(不包括原点)例4已知a,b,c为正数,求函数y=Vx+a+V(c-x)+b的由以上两例可以看到利用向量法解解析几何问题时,主要使;最小值用向量平行(或共线)以及向量垂直的充要条件,这样可以有效避解:设n=(x,a),q=(c-x,b),则原函数就为y=|+d免解析几何中错综复杂的位置关系的演化,而转变为纯粹的代数运算当然,除了上述这两个充要条件外,在解题中还可以利用向F|+引|=|+'|=va+(a+b),当且仅当与q同向平行量的夹角公式及距离公式等只要我们能对解析几何中图形的位时等号成立置关系和数量关系进行认真分析,充分挖掘问题的向量背景,就有::ym=Vc+(a+b)可能获得一个较美的向量解法从以上两例可见,运用向量法解代数问题时,主要利用了向量三、用向量法解代数问题的数量积及向量加法的三角不等式,关键在于仔细观察问题的结由于向量的几何特征十分明显,所以利用向量来解决几何问构特征而后构造出向量模型这对培养和提高学生的观察能力和题是比较容易想到的然而向量法同样可以用来解决一些代数问想象能力拓宽他们的解题思路提高他们分析问题和解决问题的题只要我们能够认真观察善于挖掘代数结构的向量模型,巧妙能力都是大有帮助的地构造向量,就能将代数问题转化为向量问题,收到避繁就简的功:以上仅是简单列举了向量在几何和代数解题中的一些应用,效请看下例其实向量在解题中的应用远不止这些,如还可以应用向量来解三例3已知a2+b2+c2=1,x2+y2+x2=-1,求证:ax+by+cx≤1角问题、复数问题等等限于篇幅,这里就不一一列举了证明:构造向量p=(a,b,-),q=(x,y,;),则由已知可得总之,在有些数学问题的解决中,适当地运用向量工具不仅有助于问题的解决,而且有时还较传统的方法更简捷更方便,更重要的是这样做还能使学生从不同的角度揭示各种知识点之间的内ax+by+c→·g=ll≤lll|≤1在联系,拓宽其解题思路,从而激发学生的学习兴趣和热情。即ax+by+cz≤1(作者单位江苏省江阴市成化高级中学李煜《虞美人》教学设汁文高福才【教学目标】(3)“往事知多少”作者会想起哪些往事呢?(联系作者以前身份)(1)知识与能力:运用析关键词法鉴赏《虞美人》全词,品味(4)“雕栏玉砌应犹在”应”如何理解?反映了作者什么样的意境,挖掘作品中“愁”的深层内涵心理活动?(联系作者现在处境)(2)过程与方法通过先学后教,当堂训练,自主学习的方法。:(5)“只是朱颜改”中的“朱颜”的含义指哪些?(联系作者(3)情感态度价值观深刻理解古典诗歌作品蕴含的情感,培·作背景)养自主鉴赏能力。:(6)问君能有几多愁?”是他问还是自问?为什么【教学置难点】(⑦)找到本词的词眼并分析。(运用品位意境的方法:明意象重点:运用析关键词法鉴赏全词,品位意境。总结运用析关键’抠字眼一联经历一析手法)词鉴赏诗词的方法。(教师简介作者生平及为人,然后给学生下发自学指导提纲。难点:结合李煜生平,挖掘作品中“愁”的深层内涵。让学生依据自学指导提纲自主看书,完成提纲中所要求解决的问教学过程】题,学生看书期间教师巡视,对提出疑问的学生做提示性回答,不辅助环节做过多讲解,保证每位同学高效自学)1创设情境,板书课题二、“先学”环节法国作家缪塞尔说:“最美丽的诗歌是最绝望的诗歌,有些不!第一步:学生看书自学朽的篇章是纯粹的眼泪。”第二步:检测自学效果2出示本节课学习目标(大屏幕)(课堂练习用题签和大屏幕同步出示,学生讨论、回答,巩固(1)仔细阅读全词,品味意境体会作者“愁”的深层含义。强化)(2)有感情地吟咏、诵读古典诗歌,感受古典诗歌的音乐美。·(-)不定项选择题(3)总结运用诗歌关键字词鉴赏诗词的方法。1.“往事知多少”作者会想起的往事是指3出示自学指导A锦衣玉食陪伴的生活认真阅读教材第47页回忆以往积累的诗歌知识,完成以下,B尊严和自由中国煤化工内容,10分钟后进行检测C生存的安全CNMHG(1)了解作者的生平和为人D国破家亡(2)“春花秋月何时了?”原是代表美好事物的“春花秋月”,2.“只是朱颜改”中的“朱颜”的含义指作者为什么希望它早点结束呢?(联系诗歌写作手法)A后宫佳丽的容颜