不变量的应用

巧思妙解不变量的应用江苏丹阳明玉【题目】在一个长24分米,宽9分米,高8分米的水槽中,注入4分米深的水,然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块。水位上升了多少分米?【思考与解答】有的同学会按照常规思路来解答:先求出一个棱长为6分米的正方体铁块的体积,然后认为上升水的体积就等于铁块的体积。这样做,就已经当做铁块是完全浸没在水中了。实际上,由于原来的水深只有4分米,而正方体铁块的棱长却是6分米,因此当把一个棱长为6分米的铁块放入水槽中以后铁块不一定会完全浸没在水中。那么,如何寻找到解题的突破口呢?由于原来有水(24x9×4)864立方分米,当铁块放入水槽中,虽然水位上升了,但是水的体积还是864立方分米。抓住了这个不变量,就可以巧妙地解决问题。现在不妨设放入正方体铁块后水槽的水位是分米,那么将浸没在水中的正方体铁块体积和原来水的体积合在一起算,两者一共的体积就是(24×9xx)立方分米,而浸没在水中的铁块体积是(6×6xx)立方分米。这样,根据两者一共的体积减去浸没在水中的铁块体积等于原来水的体积,可以得方程:24×9xx-6×6×x=24×9×4,解方程,x=4.8。因此,水位上升了(4.8-4)0.8分米。可见,紧扣“不变量”是灵活解决问题的关键,这种思想在解决复杂问题中经常用到。中国煤化工CNMHG