高阶导数的应用

高阶导数的应用◆徐秋仓(安阳职业技术学院)摘要】一般情况下,求函数的极值与曲线的拐点时,对于二阶导为零的点不能确定是否存在极值及是否存在拐点。给出了利用函数的三阶或三阶以上的导数求函数极值与曲线拐点的方法。【关键词】连续导数极值拐点在讨论函数的特性、描绘函数的图像及讨论曲线的形态时,往往需要/(r)=e+e.r=0, 4r=0求出函数的极值,找出曲线的拐点。一般情况下是利用函数的二阶导数来mGr)=e-e+2sin,/(o)=0寻找。但对于二阶导数都等于零的点来说,不能确定其是否是函数的极值点或是否是曲线拐点的横坐标,对于该类特殊的函数与曲线,本文给出了由定理1,当n为偶数时f(x)=0,故y=x)在x=0处有极值又0)=利用函数的三阶或三阶以上的导数求函数极值与曲线拐点的定理与方法。4>0,所以x=0为极小值点,极小值/(o)=4一、利用高阶导数求函数的极值例2.讨论函数y=八(x)=x是否有极值我们在讨论函数的特性时要求函数的极值,极值点可能是函数驻点或解:函数y=x的定义域为(-∞,+∞)阶导数不存在的点。对于驻点处的情况我们一般是利用极值存在的第y充分条件来判定该定理是:设函数y=(3)在点处具有二阶导数且602,00110,0=0(x)=0,那么(1)当f(x。)<0时,函数y=f(x)在点x。处取得极大值;(2)利用高阶导数求曲线的拐点当fx)>0时,函数y=f(x)在x处取得极小值;(3)当f7x)=0时描绘函数图形或讨论曲线的性态时,我们需要找出曲线的拐点。能确定。由第二充分条件可知对于驻点处函数的二阶导数等于零的点是般情况下是利用拐点的定义来寻找,即先求出函数二阶导数等于零或二阶不能确定是否是极值点的还需要用第一充分条件来判定。事实上,对于导数不存在的点,把定义域分成若干个小区间,再利用二阶导数在每个小该种情况,我们可以用以下定理来求函数的极值区间内的正负性来判断曲线的凹凸性,从而利用拐点的定义求出拐点的坐(一)定理与证明标。其实,在某些时候我们可以利用高阶导数直接求出曲线的拐点定理1:设函数y=/(x)在点x的某邻域内具有直到n阶的导数,且f(x)=0(-)定理与证明x)=0,/()=0,…,/"(x)=0,/(x)≠0(≥3)。/()在x的某领定理2:设函数y=()在闭区间a上连续,在开区间(ab)内一点x处具域内连续。则有直到n阶的导数,且fx)=0,/(x)=0,…,fm"(x3)=0,/(x)≠0(≥3)1)当n=2k为偶数时,点是y=Ax)的极值点。若(x)>0则Ax)是“()在x的某领域内连续。则y=x)的极小值;若f(x)<0则/x)是y=f)的极大值。1)当n=2k+1为奇数时,点(xn,/(x)为曲线的拐点2)当n=2k+1为奇数时,点不是y=(x)的极值点,(x)不为函数y=(2)当n=2k为偶数时,点(xn,/(x)不为曲线的拐点。的极值证明:设y=(x)在点(,(x)处的切线方程是证明:设x是点的某邻域一点,把()的增量f(x)-/(x)按(x-x)y=/(x)+/(x-x),由拐点的定义可知,若:的幂而用皮亚诺型余项的泰勒公式展开,并注意定理中的条件,得:y-y=f)-/(x)-/(xnXx-x),当x通过x时变号,则点(xA)-)=s)+a(-xy是曲线y=八(x)的拐点:当x通过x时不变号,则点(x,(x)不是曲线拐点。由于当x→x时a→0,所以当x充分接近于x时,分子的符号就会与由假设,把函数y=/(x)在点x处按(x-x)的幂而用皮亚诺型余项(x)的符号相一致,在xx时都是如此的泰勒公式展开,并注意定理中的条件,得现在来考虑两种情况:y=C"(5)+a((x-(1)n是奇数:n=2k+1。当x的值由小于x变到大于xn时,因式(x-x)就会变号,但因上式第一个因子这时不变号,所以差八(x)-八(x2)也要变由于当x→x时a→0,所以当x充分接近于x时,分子的符号就会与的号,函数p=/(在点x处就不会有极值,因为在这点附近,(有时小于Ax)/(x)符号相一致,在x<时以及在x>时都是如此也有时大于/(x)现在来考虑两种情况:(1)n是奇数:n=2k+1。当x的值由小于x变到大于x时,因式(x-x)(2)n是偶数:m=2k,当x的值由小于七变到大于时,因式(-x)就会变号,但因上式第一个因子这时不变号,所以差y-y也要变号。故点是曲不变号,因而差f(x)-f(x)也不变号并且与(x)的符号相线的拐点。一致。即当“(x)>0时,f(x)>/(x),(x)就是函数y=()的极小值(2)n是偶数:n=2k。当x的值由小于x变到大于x时,因式(x-x)当八(x)<0时,f(x)<(x),八(x2)就是函数y=(x)的极大值不变号,因而差y-y也不变号,故点(x,/(x)不是曲线的拐点。此定理对任何有限或无限区间都适用。(二)利用此定理求函数极值的一般方法和步骤(二)利用此定理求曲线拐点的一般方法和步骤1.求出所给函数y=八(x)的定义域求出所给曲线y=(x)的定义域2.在定义域内求fx)=0及f(x)=0的点;2.在定义域内求/(x)=0的点3.求2)中各点处的三阶或三阶以上的导数值,直到第一个阶数的导数不3.求2)中各点处的三阶或三阶以上的导数值,直到第一个阶数的导数为零不为零4.由此定理判断各点处的高阶导数值情况,求出极值。由此YH中国煤化工从而求出拐点。(三)举例CNMHG例1.求函数/(x)=c+e+2cosx的极值例1.求面线x3的拐点解:函数八(x)=e+e"+2cosx的定义域为(-∞+a)解:函数y=x的定义域为(-∞,+∞)f()=-c-2sinr=0,得x=0,y=5x2,y=20x,令y=0得x=0(下转第178页)186基于职业能力培养的高职电工课程教学改革的实践探索◆乐乐宋烨(长沙航空职业技术学院)【摘要】针对高职高专院校的人才培养目标,分析国內其他髙职髙专院校电工教学的现状,提出基于职业能力培养的高职电工的教学改革,教学总体设计、教学评价方案等方面改革措施,并总结了教改实践中的经验,为今后的教学提出了建设性的意见。【关键词】职业能力电工教学改革实践电工是一门传统的高职理工类院校的基础课程,教材理论较深,概念改革。以完成工作中的某一任务为基本单位,以行动导向为教学出发点多且抽象,学生不易理解和掌握。为了能贯彻执行教育部颁布的《关于全选取合适的项目载体,运用能力分担法,将学习领域的内容转换为学习情面提高高等职业教育教学质量的若干意见》,更好地实现学校与企业的无景,充分体现学习的均衡性、完整性和系统性。缝对接,我院领导积极组织一支素质优良、从业经验丰富、研究资质深厚、三、结束语专兼结合的“双师型”研究团队对基于职业能力培养的高职电工进行了教由于高职院校学生基础差,教学课时不够,教师不可能仍按原有的教学改革。学大纲设定的课时按部就班地进行教学,必须对某些教学内容及相应的教一、课程教学改革的意义学课时作出适当调整。一是我们应当根据社会对技术工人的实际需求,对近几来,大多数技校都在追求数量扩张,继续走规模发展之路,学校都电工课的内容进行改革,按照“必须,够用“的原则。比如,像叠加原理、戴在最大限度地吸纳生源,竞争激烈,秩序混乱。从招生情况看,生源主要是维南定理、非正弦交流电等可以不讲。应该让这部分学生重点掌握基本电那些在高考中落败的群体。他(她)们或是对前途悲观失望,对学习漫不经路、电磁感应原理、(单相、三相)正弦交流电的基本概念以及曰常维修和安心,没有更高的理想和追求;或是浑身沾染不良习气,组织纪律意识淡薄,全用电的基本常识。二是要求学校同各相关任课教师之间协调好教学进缺乏责任感,自控能力差。更何况这些学生大多数理两科成绩更差,甚至度和教学重点。如《数学》中的“三角函数”“复数运算”可作为电类专业班厌恶数学、物理学习,自然不喜欢以数理为基础的《电工》。要扭转这批学的教学重点,并务必将其教学安排在《电工》教学进度之前。三是在教学生的精神面貌,教会他(她)们做人的基本道理,学到起码的专业知识,培养中,教师可视情况将某些公式、结论等复杂的数学推导过程适当简化,重物他(她)们的职业能力,需要我们放弃以往的传统教学模式,开展基于职业理条件和结论轻数学推导过程。如“交流电的有效值与最大值的关系能力培养的《电工》课程教学改革。通过教学实践,教改后的《电工》课程“串并联谐振的条件”“三相交流电相电流与线电流、相电压与线电压的相能引发学生的学习兴趣,对学生的职业能力和职业素养有了明显提高。学位关系”等的数学推导,过程繁琐复杂,经教学检验,适当简化其推导过程生能熟练地使用常用电工工具、电工仪表,独立的按工艺要求安装维护家教学效果反而更好,并可节省教学时间。用电路,并能根据要求设计电气控制线路。参考文献二、课程教学改革的总体设计[1l]叶发锦基于职业能力培养的高职机电英语课程教学改革与创新全国同类高职院校对《电工》课程教学改革也做了相应的尝试,一般分[J].高教论坛,2012,(06):123为两种情况:第一种,是沿用理工类本科院校的教学模式,重视对理论的推〔2]宋烨.基于职业导向的髙职课程体系构建的探讨与实践[J].科技导,分析及技术,实验性课程大多采用上机仿真来进行。而这种教学模式讯,2010,(151)对于高职院校的学生来说是根本行不通的,枯燥的理论推导需要扎实的数3]李佳佳,职校电工技术难教难学成因及对策[J].考试周刊,2011理基本功作为基础,这点我们的学生可能较难达到;另外,上机仿真的验证性试验和实际的生产过程操作结果有时有出入,我们培养的是要能和企业[4]焦莉.基于职业能力培养的高职教学改革探讨[J].科技资讯,无缝对接的学生,所以这样的实验课程对高职院校的学生是不适用的。第012,(151)种是大张旗鼓地进行深度改革,为了强化学生操作技能,大量增加实践5]李海亭.电工基础教学心得[J].科技信息,2011,(151教学时间,大幅减少了理论教学课时,而教材的编排又未及时作出相应的[6]房雪立,浅谈电工基础教学中学生创新能力的培养[J].教育交流调整,这使得理论教学课时明显不够。再加上一些教师教学方法单调、陈2009,(03)旧,仍习惯于采用灌输式等老一套方法教学,学生不容易接受。[冂]王兆坤.职校电工基础教学中学生创新意识培养初探[J].大视野针对这两种典型现象的利弊,我院的教学团队深入企业调研,结合企2009,(03业能力培养目标和学生理论水平状况,着力对《电工》课程进行科学的教学(上接第186页)-2,点(3)也是曲线yA)=3-42+1的拐点y=60x2,y(0)=0:y)=120x,y°(0)=0例3.讨论曲线y=f(x)=x*是否有拐点=120,y”(0)=120≠0解:函数y=x的定义域为(-∞+∞)由于y(0)=120是五阶导数值,所以当x=0时,y=0:点(00)是曲线p/x)=r=4x2,y=12x2,令y=0,得x=0:y(0)=0,y(0)=24≠0,此时n=4的拐点例2.求曲线y=(x)=3x2-4x3+1的拐点为偶数,因此当x=0时,y=0,点(00)不是曲线y=()=x的拐点。故曲线无拐点。解:函数y=/(x)=3x-4x+1的定义域为(-∞,+∞)exH中国煤化工參考令p=0,得石=0,=3CNMHM].丁寿田译.人民教育出y=72x-24,y(0)=-24≠0:13)-20且3为奇是版社,1960[2]同济大学数学教研室.高等数学.高等教育出版社,1980当x=0时,y=1,点(0)是曲线y=(x)=3x2-4x2+1的拐点:当x=时