关于半线性热方程整体解的注记

第30卷第6期大学学报(理学版)Vol 30 No 6Journal of Zhejiang University( Science Editi关于半线性热方程整体解的注记章志飞浙江大学数学系浙江杭州310028)摘要:利用 Besov空间的热核刻画及压编映射原理,研究半线性热方程u-△n=u|w|°的初值问题,得到了当初值m∈(R)且u,…实m(p=2,p>p)充分小时,整体解的存在性及在一定条件下解的惟一性词:半戴性热方程;整体解; Besov空间中图分类号:O175文獻标识码:A文章编号:1008-9497(2003)06-609-03ZHANG Zhi-fei(Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou 310028, China)Note on the global solution to the semilinear heat equation. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 200330(6):609-611Abstract: By using the heat kernel characterization of Besov spaces and the contraction mapping principle, the ini-tial problem to the semilinear heat equation u, Au=ulul is studied. The global existence of the solution is proved.o(R")and Iusb.F.). r", is sufficently smasuitable conditions, the uniqueness of the solution is also obtained.Key words: semilinear heat equation; global solution: Besov spaces研究半线性热方程则问题(1)存在解u∈C(0,∞),L)满足(3)x∈R,∈R()而且使得如下条件成立的解是惟一的初值问题整体解的存在性和惟一性,其中l(4)n(x),a>0.当a∈L(R"),P=2>1时,问题注存在函数∈D(R"),使得‖“‖z(g;=1(1)有局部解.当‖xo‖t(充分小时,问题(1)有b,“h一("≤7例如取vn∈Lh且目vb=1,可以证整体解口,作者利用 Besov空间的热核刻画及压缩明m‖mb,”0因此,取k充分大,使得映射原理,证明了当∈L(R”)且4e"volb;“,"m≤,只要令=e"o即可xoi,一“-如“P2=,p>。充分小时,问1准备工作题(1)整体解的存在性由于当p>P时,L(R")连续地嵌入B"n(R"),改进了文献[1]的结果取径向函数中∈S(R),使得0≤中()≤1,当主要结果是≤子时,()=1,当1>2时,4()=0.令定理=>1,P>a+1,≈n1_12(。-p0,使得则对f∈S"(R"),算子S和△(j∈Z)分别定义为(2)Sf(x)=*f(x),△f(x)=中*f(x)收稿日期:2002-04-01作者简介:章志飞(1976-),男,断江大学数学系博士生,主要从事调和分析和偏微分方程研究610浙江大学学报(理学版)第30卷定义2,称∫属于齐性 Besov空间B;(R")4tg≤‖a"l:g是指le siau'|"a(s)|xds≤k”)引理14设1≤q≤∞,<0,则对任意的f∈S'(R"),下面4个范数相互等价(-s)-ad≤sup2‖△,f‖xg"(5)Ct&teMg")+t‖ef‖c(-)从而有其中,e“f=G,*f,Gi(x)=(4x)-et为热核.upr‖‖(g’≤CⅡ4,2、,+C‖'‖x+1引理2设p>=2,则L连续地嵌入齐性Bso空间B"h“(R")接下来估计|d'‖g-3w.=(g,应用 Young不等式,引引理3设e∫=G,f,g≥p≥1则f∈理1及引理2得L(R"),有lu1lg-2.(≤‖4°~g”,+ef‖x≤C--,le-oaju'|"x(5)|gds≤证明应用 Young不等式便可证得,证略2定理的证明C(-)x首先将问题(1)转换成积分方程u(t)=eun+|e"n4luI'u(s)ds. (10)c}(-s)-“pud‖x≤积分方程(10)的解也称为问题(1)的温和解.通常,C‖al-(g+C‖a‖x"温和解不一定是经典解,但由于e为C的解析半因此群,此时可以证明温和解即为经典解下面用文献s|a+1lmm(g≤C‖目2“图+C‖2x1[7]的方法构造积分方程(10)的解(14)为此引人 Banach空间X,v∈X是指综合式(13)、(14)可得v(1,x)∈C([0,∞),L°),K;≤C‖4‖x~+C‖a'‖x+2,(15)r"v(t,x)∈C([0,∞),L)limt"‖a‖=0.根据式(15),令K,=2C‖‖,只要取y>0使得2CK.≤1就有Banach空间X的范数定义为K,≤K0,1,2(16)I v Ix=sup v(t) B-bcg")+supr"llv(t)va"由于u°∈X,类似于前面的估计,可证定理的证明先构造逼近解,令imr"‖u2h=0,j=0,1,2,n=e“a,wy+1=x2+|e-lv(s)d,因此,∈x,=0,1,2,…下证存在u∈X,使得j=0,1,2,(11)当j→∞,l收敛于a,且满足积分方程(10).令a由于u∈L,应用稠密性讨论及引理1,易证u∈--,j=0,1,2,…(约定u-1=0),则有X,且有lu‖x≤C‖xolg-2,-ay,(12)(CK,)+1‖u6‖x(17)令K,=‖a+1‖x,下面估计K1,j=1,2,…,应用Young不等式及引理3得设,m∈N,>m,则x2-=∑,从而第6期章志飞;关于半线性热方程整体解的注记611在某个区间[0,0)(>0)使得,当r∈[0,B)时a(r)=v(r),也即当t∈[0,T.+a)时,(t)=aox∑)(CK∵)v(1),这与T.的定义矛盾,因此T定理得证因为CK:<1,所以}=。为X中的 Cauchy列,从而存在x∈X,使得当j→∞时,在X中收敛于u,感谢导师王斯雷教授和陈杰诚教授的指导易证a满足积分方程(10)最后证明在条件(4)下解的惟一性,设还有另参考文献v∈X满足积分方程(10),则有supt"lw()-v(t)‖g≤[1] WEISSLER F B Local existence and non existence forCli sup !lu(r) pIr>+semilinear parabolic equation in I.[]. Indiana UnivMath J,1980,29(1):79-1sup!"lv(t)lx)】[2] BERGH J, LOFSTROM J. Interpolation spaces,AnIntroduction [M]. Berlin/New York: Springer-vesup u()-v(t)v(Ryg,1976其中T>0,因为limr‖al=0,limt"‖v‖=[3] TRIEBLE H. Theory of Function Spaces, Monographin Mathematics [M]. Boston: Birkhauser, 19830,所以可取T>0充分小使得[4J CANNONE M. Ondelettes, Paraproduits et Navier-ci( sp pl uoI")+( sup r ll t) I zag 5).)Stokes[M]. Paris: Diderot Editeur, 1995.[5] CANNONE M. A generalisation of a theorem by Kato于是可推出,当t∈[0,T)时,a(t)=v(t)令T,=on Navier-Stokes equations [J]. Revista Matematicasup{t∈(0,∞);u(t)=v(t)}.若T.=∞,则证毕Iberoamericana, 1997, 13(3):515-541[6] PAZY A. Semigroups of Linear Operators and Appli-否则,t∈(T'.,∞),令r=t-T,,(s)=cations to Partial Differential Equations [M]. berlinv(T,+5),v(s)=v(T,+s),有New York: Springer-Verlag, 1983.u(r)=eeu(T)+e lulu(s)ds[7] KATO T. Strong L,solutions of the Navier-Stokes e-uations in R with applicatiov(r)=ev(T)+|efe-mlvlv(s)d]. Math Zeit,1984,187(4):471-480(贵任编辑寿彩丽)因为t(T.)=v(T.),由上面的惟一性讨论,存在