不变变分问题

第34卷第1期力学进展003年2月25日ADVANCES IN MECHANICSFeb.25,2004不变变分问题Emmy noether(此文献给F. Klein,为博士研究50周年纪念日作)(1918年6月206日F. Klein推荐)编者按语:众多学者在研究对称性与守恒量问题时,都在引用德国数学家 Emmy noether(1882~1935)1918年的莫基性论文 Invariante Variationsprobleme(不变变分问题).论文是用德文写的.我们从Joak1959年主编的《力学的变分原理》(俄文)中找到论文的俄译本.本刊刊岀俄译本的译文,供广大硏究者参考,原文没有擿要和关键词.下面的摘要和关键词是译者加上去的摘要研究Lie意义下的允许连续群的变分问题.基于形式变分学方法与Le群理论方法的联系,得到以下两个定现定上如果积分1=/-/(u…)相某有续群2是不变的则Lm购表示v的p个线性独立组合将变为散度;反之,由后一条件得到积分I相对某群Dp的不变性。对无限多个参数的极限情形,定理也对.定理2:如果积分I相对无限连续群D∞p是不变的,在此群中会出现直至σ阶导数的导数,那么 Lagrange表示ψ及其至a阶导数之间有p个恒等关系成立;这里反述也对.定理1在v=0时给出P个第一积分.定理2表明, Lagrange方程总数中的p个方程是其余方程的结果关键词不变性,变分问题,Lie群, Lagrange表示,散度,积分1预备知识与定理的表述值的.众所周知,变换群”理解为这样的变换组,在变这里所谈到的是允许连续群(Le意义下)的变换时每一个变换都对应有同组内的逆变换,而由组内分问题;由此导出的关于相应微分方程的结果在第任意两个变换组成的变换也在给定组内个群称为1节表达的定理中找到它最一般的表达式并在后几有限连续群,如果其变换包括在解析地依赖于ρ个节中给出证明.对于这些由变分问题产生的微分方实参数p(即这些p参数不可能作为参数最小数目的程,可以认为要比作为Le研究工具的相对微分方程P个函数)的最一般的变换中的任意可允群更为精确的表达.这样,下面的描述是依此,无限连续群D∞。理解为这样的群,即对基于形式变分学方法与Le群理论方法的联系对特它的最一般的变换依赖于p个实任意函数p(x)及其殊群和特殊变分问题,这种方法联系不是新的;我已导数,或解析地,或至少这种依赖性用允许有限个连提到 Hamel和 Herglotz致力的特殊有限群, Lorentz续导数的连续函数来表达.依赖于无限多个参数,但和他的学生们(如 Fokker), Weiler和 Klein致力的特不依赖于任意函数的群处于中间情况.最后,依赖于殊无限群. Klein的第2篇论文和本文特别的彼此任意函数,也依赖于参数的群称为混合群,相互影响;为此,我愿意在 Klein的论文中给出末尾设x1,…,xn为独立变量,u1(x),…,t(x)为的注释它们的函数.如果x和u发生某个群变换,那么以下出现的所有函数都假设在所论域上是解析由变换假设的可逆性,被变换了的量将精确地包含的,或者至少是连续有界的,通常是连续可微的、单n个独立量v,…,m;其余的量依赖于前者,记作U1(y),……,vn(y).在变换中可遇到u对x的导数,即au a2u某函数称为群不变的,如果成立关系P(T, u 8221对单重积分,对u的κ次导数,方程(3)取形式∑6u1+其中可注意的是,积分I是群不变的,如果成立关系af1=//(=amdu au∑6+y,这里积分遍及x的任意实域和y的相应域上du另一方面,对某个任意的不必是不变的积分I我得到一次变分6I,并利用分部积分法按变分法变换它如果认为,在边界上6u连同所有遇到的导数+(-1都为零,那么得到6I=/…/y=相应的等式在n重积分下成立;其中,A包含6u至(κ-1)阶导数.用方程(4),(5),(6)事实上可确//(∑(=a)m定 Lagrange表示v的情况由以下得知:用右端组(2)合可消去u的所有高阶导数,此时另一方面,分部积分单值地导出的关系(2)得以满足这里ψ标记 Lagrange表示,即对相应变分问题将表述如下两个定理:6I=01.如果积分Ⅰ相对某群D。是不变的,那么La的 Lagrange方程的左端.这个积分关系对应bu与 grange表示的p个线性独立组合将变为散度,反之,其导数间不含积分的等式这个等式用写出边界上相由后一条件得到r相对某群D的不变性对无限多应值的项来得到正如分部积分证明的,这些项就是个参数的极限情形,定理也对散度的积分,即表达式2.如果积分Ⅰ相对群D∞。是不变的,在此群中aAl会遇到直至σ阶导数的导数,那么在 Lagrange表示及其至σ阶导数之间有P个恒等关系成立;这里也的积分,并且在表达式A中6u及其导数线性地出能反演现.因此,得到对混合群这两个定理也成立;因此,无论依赖性∑wi dui=df+ div a(3)还是不依赖于它们的散度关系( Divergenzrelationen都存在其中可注意的是,如果∫仅包含u的一阶导数,那么如果由这些等式引向相应的变分问题,即如果取在单重积分情形,等式(3)与Heun称之为' Lagrangeψ=0,那么对散度成为全微分的一维空间情形,定理中心方程1表明存在p个第1积分,在所有情形第一积分之间∑d∑d可存在非线性依赖性;在多维情形得到散度关系,现在它们常确定为‘守恒定理;定理2是说, Lagrange方程总数中的p个方程是其余方程的结果的方程相重合,此时对n重积分,方程(3)变为下式定理2的最简单例子,不用说,乃是 Weierstrass∑w0-m.(>m)参数表示;这里在一阶齐次下积分显然是不变的,如果用x的任意函数取代独立变量x,而保持函数u不变[y=p(x),vi(y)=ut(ax)].因此,出现一个任意函应为2,原文似有印误一译者注数,但没有导数;这对应 Lagrange表示本身间的已也是不变的;对此情形关系(1)变为知线性依赖性0=△I=0//(o)另一例子是物理学家的广义相对论;这里涉及x的/…/(xa)所有变换群其中第1个积分遍及对应域x的域x+△x上.不yi=pi(e)过,这个积分可借助下述对无限小△x所具有的变换此时u(用gμ和q表示)受到变换,这些变换归为/-/woy-)+=二次和线性型系数的首项并包含任意函数p(x)的一阶导数.这对应 Lagrange表示及其一阶导数间的已知n个相关性其中可注意的是,如果特指在变换中不许有u(x)…/div(f.△a)dr导数的群,此外需变换的独立量仅依赖于x而不依赖于,那么(将在第5节中证明)由积分Ⅰ的不变性而变换为域x上的积分.因此,如果代替无限小变得到∑v6v的相对不变性,以及定理1中提到的散换△u写出变分度的相对不变性,既然参数发生相应的变换.由此还du:=vi(=)-ui(a得知前面所指的第一积分允许有群.对定理2恰好得到借助任意函数组成的依赖性的左端的相对不变性;由此还得到一个函数,它的散度恒为零并允许有群,这个群在物理学家的相对论中实现这些依赖性与那么方程()和(8)引向下述形式能量定律之间的联系.最后,定理2用群论方法给出与此相关的 Hilbert关于广义相对性’中涉及能量的0=/-/+k)h(00某些定理不成立的论断的证明.由这些补充说明,定右端是依赖变量和独立变量等时变分的已知公式理1包含力学中所有关于第一积分的定理,同时定因为关系(10)在任意域上积分都满足,那么被积表理2从疒广义相对论’的群论观点来看,可认为是最达式应恒为零;这样,Lie微分方程在I不变情形取具普遍性的形式6f+div(f·△x)=02散度关系和依赖性如果这里按式(3)将6∫用 Lagrange表示代入,那么得到设D是某个有限或无限连续群;此时需要达到的是恒等变换对应参数∈或相应任意函数p(x)的零(B=A-∫·△x)(12)值.因此,最一般的变换将有形式而这个关系对每个不变积分I相对所有出现于其中的自变量都是恒等的;这就是对I的Le微分方程A ila=x;+△x;+的待求形式开始认为D是有限连续群;因为据假设,△uau(v)=B和△x相对参数1,…,Ep是线性的,那么据式(9),对变分6u及其导数也对;这样,A和B对E是线这里△x1,△u1表记对6,相当p(x)及其导数的最低性的,因此,如果取次项;由此得知,这里它们线性地出现.下面可查明B=B1)1+…+Bl这不是共有的限制现设积分I相对D是不变的,因此将满足关系6u=b()1+…+buo)c1)其中可注意的是,此时I相对包括在D中的无这里bn(4),…是x、υB'的函数,那么由方程限小变换(12)得到散度的待求关系y=x;+△;∑vu=dvB0)U(y)=t+△u∑vnP=dvB这样, Lagrange表示的P个线性独立组合过渡到(-ya(ew)}=0,(=12,…,)散度;线性独立性可这样得到:按等式(9)由条件(16)6u=0,△x=0可得△a=0,△x=0,而因此在无限小变换之间存在相关性.但按条件相关性对无论怎这就是在积分r相对D不变下 Lagrange表示及样的参数值都不成立,因为用无限小变换的积分重新其导数间的待求关系;线性独立性如上已找到,因为得到的群D。依赖于比p要小的实参数.另一可能性演将返回等式(12),可得到由无限小变换返回到有6u=0,div(f·△x)=0应除去,这些结果在无限多隈的结论,这将在第4节详细展开.因此,对D∞p在个参数的极限情形仍保持无限小变换中经常出现p个任意变换.由方程(15)现设D为无限连续群D∞i;此时bu及其导和(16)还得到数,因此B,相对任意函数p(x)及其导数还将是线性的;假设代入bu的值,独立于(12),得到∑=∑(叫(…加(a)+如果涉及'混合群,假设△x和△u相对c和p(x)是线性的,那么可以看出,一次可让所有p(x)为零,另次让所有ε为零,在此情形仍成立散度关系(13)(x,,…,)+…+以及相关性(16)3有限群情形下的反演为证明反演,首先基本上将前面引出的结论反过现在根据等式来看.由关系(13)存在,在乘以E并相加之后可得a p(a)知等式(12)的正确性,按等式(3)得到关系8f +div(A-B)=0类似于分部积分公式,P的导数用p本身和散度替代,它们对P及其导数仍然是线性的;因此得到这意味着,如果取(-1 D2 (c waylay那么可导致等式(11);最后,由此用积分得到等式(7)+div T(14)△Ⅰ=0与(12)联立,有即积分Ⅰ相对由△x,△u确定的无限小变换的不变性,且Δa按等式(9)由△x和bu确定,而△u相∑{a)8a))+…对参数仍是线性的.但众所周知,等式△I=0(-1)°(15)导致相对有限变换的不变性,这些变换用联立方现在某域上组成(15)的n重积分;选函数p()使程组它们连同出现于(B-r)中的所有导数在边界上为dt= 4u零.因为散度的积分归为沿域边界的积分,那么,对仅限制本身连同充分多的导数在边界上为零的任意当t=0(17)函数p(x),方程(15)左端的积分也为零;由此按已知方法得知,积分号下表达式对每个p(x)为零,即成立p个如下关系的积分来得到∵这些有限变换包含p个参数a1,……,ap,即组合∑{.")+…+e1,…,tep由应有p个且仅有p个独立散度关系的假设,进而得知,有限变换,既然它们不含导数原文为一,疑为印误—译者注总组成群.反之,至少一个由Le括号方法( Lie' schen它们通常称为守恒律.在一维情形下,由此得到Klammerprozess组成的无限小变换不是P个其余的线性组合,而因为Ⅰ允许这个变换,那么存在大于onst,…B(p)= constp的关于散度线性独立关系,或者这无限小变换有特殊形式使得bn=0,div(f·△a)=0,但此时△x和这里B包含u的不高于2k-1阶导数(据(6),因△y与假设相矛盾而依赖于导数问题是能否是这种为4u和△不包含比出现于f中阶更高阶的导情形,即在△x或△中出现导数,仍是悬案;此数因在中一般说会遇到2阶导数,那么因此有时前述△x与使div(f·△x)=0的△x发生了联系P个第一积分.在它们中间可存在非线性依赖性,由使得重新得到群,但按条件,这样附加的参数不应考前例可再证明、线性独立的△u=4,4x=B2对虑.这就证明了反演.应线性独立关系由此反演还得到,事实上我们有理由选△x和1 d△u相对参数是线性的.实际上,如果Δx和△u是d对ε的高阶形式,那么由于ε阶积的线性独立性相应的关系(13)在大多数下可得到,而由此在反此时在第一积分之后得到积分Ⅰ相对其无限小变换包含参数的群是u'=const, u=const不变的.如果这个群应十分准确地包含P个参数,那么因为有对c的高阶项而原先得到的散度关系之之间存在非线性依赖性.因此涉及基本情形,当间的线性相关性必然存在△u,△x不含u的导数还需注意,当△z和△u包含u的导数时,有限变换可依赖于u的无限多个导数,实际上,当m”4无限群情形下的反演02x;82va2确定时,在此情形系统(17)的积分引向方程首先证明,△x和△u的线性假设不是任何限制,这不用反演便可由这样的事实得知:Dp形式00△uaua△x地依赖ρ个且仅p个任意函数.即,可证明,在非线性情形当施加变换时,对低次项求和,任意函数的因此α的导数数目,一般说来随各阶而增大.这样,数目就会增大实际上,设例如y=’v·z=(u-tx),bu=xex+∑,…+6x…)y=2m+v,△v=(x2因散度的 Lagrange表示恒为零,那么反演证明如p=(p1)"+…+(po)°下:如果I允许群D,那么每个仅在积分时沿边界不相应地同于I的积分,即散度的积分,也允许有带同样u的群D,其无限小变换一般说将包含u的导数.这样,例如依照前例此时加上{"()}du允许有无限小变换对低次项得到△u=xs,△x=0z=x+∑ap2+q")+此时在对应于f∫的无限小变换中出现u的导数aql如果转向变分问题,即如取v;=0,那么关系(13)导致方程apdiv b(l)=0., div b(p)=0{p"(a如果这里异于a和b的任何系数不等于零,因此对任何a>1实际上会遇到项∑{…ypa= +a2+…+c"ax那么它不可以作为一个单值函数的导数或者作为这样的阶项来研究;因此,任意函数的数目与假设相比因为由无限小变换△x=px得到带任意g(y)的每个较增大了.如果异于a和b的所有系数为零,那么依变换x=y+g(y),那么尤其是需建立P(x)对t的依赖于指数n,,v可有两种情形:或者第2项是第赖性使之得到单项群1项的导数(例如,对D∞1总成立),因此实际上得Ti=yi +tgi(y)到线性性,或者任意函数的数目增大,这样,由于函数p(x)的线性性,无限小变换满足线性偏微分方程此群在t=0时成为恒等式,而对t=1时引向待求组,而因为群的存在条件满足,那么按Le的定义,变换x=y+g(y)它们组成无限小变换的无限群这里类似于有限群情形来得到反演.依赖性(16)实际上,由方程(18)求导数,得的存在,在乘以p)(x)并借助恒等变换(14,引向方程dt=(y)=p°(x,t)∑lisui= div r这里p(x,t)用表达式(18)反演的方法由g(y)确定,如同在第3节中,由此得到△a和△u的定义和积分反之,在补充条件当t=0时x;=v下,由式(19)Ⅰ相对这些无限小变换的不变性,而这些无限小变换可得到方程(18);这条件单值地确定积分.借助方程实际上线性地依赖于p个任意函数和它们直到σ阶(18),△u中出现的x可用积分常数y和t表示出的导数这些无限小变换如果它们不含导数a2,…来,此时90)恰好进入直至阶导数的记号下因定组成群,正如第3节中由这样事实得知:否则在此在表达式相加时会引出更多的任意函数,此时按假设应仅有p个依赖性(16)};因此,这些变换组成‘无限小变换的无限群.但这样的群由Le意义下有限变换的无限中,b2用表示,一般说群D所定义的最一般的无限小变换组成.每个有限p表为ay变换由无限小变换用积分联立方程组的函数.于是,得到为确定u的方4c.du=△u程组F{9(y)当t=0Ui= Ui(当t=0,u4=v),来得到,并且还需将任意函数p(x)当作依赖于t来研究.就是说,D实际上依赖于ρ个任意函数;其其中仅t和u是变量,而g(y)作为系数;因此,积中,只要设p(x)不依赖于t,就足以使得这种依赖性分给出相对任意函数q(x)=t·p(x)是解析的.如果出现导数那么在作出结论之前,补充无限小变换二+B(0…)6u=0,div(f.△x)=0应是必要的与Lie引出的例子相关,还要指出足够一般情即仅依赖于任意函数的a阶导数的变换根据式(18)形,其中勉强得到显式,而在显式中出现任意函数不这些变换包括当g(y)=0时的恒等式,那么这些变高于σ阶的导数;在此情形仍然可完全得到反演换组成群,因为所指方法给出每个变换x=y+这就是,这些无限小变换群,它们对应x的所有变由此得到的对u的变换也被单值地确定;因此,换以及由此发生的u的变换的群,即u的这些变D被完全确定换,在变换时△u,因此u仅依赖于△x中出现的任由反演还得知,如果我们得到仅依赖于x而不意函数;因此还假设在△u中导数z,不出现.依赖于t,的任意函数,那么这不意味任何限于是有制.后一情形在恒等变换式(14)中,而因此在式(15)△x;=p{(x中,除p(外还出现du a(au/ar因此,如果继续认为p)相对带x的任意函数的vm,…的如果在第3个积分中将6用xu如表示,并零阶,一阶,…作为系数,那么在多数情形重又出让它等于第1个积分,那么对在边界为零而在其他方现关系式(16);但是,这些关系根据所论反演用联合面任意的6u就有关系仅依赖于x的任意函数的办法将导致前述情形.这样可精确地证明,依赖性和不依赖于它们的散度关系/…/()的同时出现对应混合群.众所周知,由此得对任意bu的被积函数为零;因此,5关系式各自组成部分的不变性我们有对6u的恒等关系v(u,…)6uv(U,…)6如果专指群D,通常限于最简单情形:变换中不出现u的导数且变换的独立变量仅依赖z而不依赖它建立了表达式∑的相对不变性,而因此建首先用已知推理方法得到积分∑vbu)dz/…/(∑w)的不变性的相对不变性,而因此得到表达式为将其应用于导出散度关系和依赖性,需再证明,由△u,△x引出的u实际上要满足对6u的变换规律,既然bU中的参数或相应的任意函数可如此确定以使它们对应相对yv的无限小变换的相似群.的相对不变性,6理解为某个变分事实上,一方面如果用表记由x,u到v的变换,用表记,自身组成的变换,那么与其相似的变换由公式a, uI=lgPl/…/6(w-)6代(y,y给出,因此这里工的参数或相应的任意函数借助p和q来确定.用公式表示为另一方面,在边界上值6,6,…等于零,而由于:5=x+a(x,p)量6u26。变换的线性齐次性,它们对应边界上为零=u+△u(x,u,p)的量I q: y= A(=, q)C. 2Lc. i工xp:n=A(x+△x(x,p)q)…/∑()B(x+△x(p)但由此得工=工1因此Uy+△y(r)+△v(r)因此,对在边界上为零的值我们有并且由于反演,工可作为y的函数来研究,并仅考虑无限小项,因而成立等式∑v(u,…)6ud△)=y+∑aA(, q△x(p)∑响(,…)6n)dU=+△()=+∑8B(.9△ax(p)+8B(.g△u(p)这里如果ξ=x+Δx用ξ-Δξ替代,因ξ重又过不依赖于x或不依赖于α,对应无限小变换Δx=ε,渡到x,因此△x为零,那么按公式(20)的第一个,△u=0或相应地△x=0,△a=ε.此时bu变为等n也过渡到y=n-△;如果用这种代入,△)变于出或相应地6,因为B由∫和bu用微分和有为♂u(p),那么△v(T)也变为bv(,式(20)的第二个理运算得到,那么因此它也不依赖z或相应地u,并给出允许相应的群u+2(…,+=+.6 Hilbert的结论6u(n…,)=∑aBSux(a, u, p)最后,由前述还得到 Hilbert关于能量本征定律因此对变分的变换公式实际上得以满足,既然仅b与广义相对论无关联的结论的证明(Kem的第1假设依赖于参数或相应地依赖于任意函数r其中可注意的是,由此得到,表达式∑wu4的是在一般提法下用群论观点相对不变性以及(考虑到式(12),那么散度关系对设积分Ⅰ允许群D。∞p并设D为由前述群用使y,U也满足)量dvB的相对不变性;进而,据式(14)任意函数有特殊形式构造出的某有限群;因此,D和式(13,得到dr以及与p相关联的依赖性左是D∞p的子群.此时无限群Dp对应依赖性(16),端的相对不变性,这里通常在变换公式中需用r代替而有限群D对应散度关系(13;反之,由某个散度满足函数p(x)(及相应参数).由此还得到dv(B-r关系的存在引起I相对某有限群的不变性,这有限的相对不变性,即不恒为零的函数组B-r,其散度群在且仅在那种情形才与D重合,即当b为由D恒为零.得到的bu的线性组合.因此,对D。的不变性不能由dvB在一维情形对有限群的不变性,还可得导出异于(13)的某些散度关系,但因由依赖性(16)出第一积分相对不变性的结论对应无限小变换的参的存在得到I对群Dx在任何形式的p(x)下的无数变换,据式(20)将是线性齐次的,由所有变换的限小变换△x,△u的不变性,那么其中也得到用函数反演,ε也用变换了的参数e线性齐次地表出特殊形式的方法引起的对群D。的无限小变换的不个反演无疑地保持,如果取ψ=0,因为在公式(0)变性,而因此得到群D本身的不变性,散度关系中不出现u的导数如果在方程∑列n=dvBdiv b(ae)= -div b(y,t,…,e)应是依赖性(16)的结果,它们可写成中让e*的系数相等,那么函数B((y,U,…)这里x()是 Lagrange表示及其导数的线性组合.因ψ无论在(13)还是在(16)中线性地出现,那么其中也是散度关系应是关系(16)的线性组合;因此得BM(x,u,…)的线性齐次函数,因此由等式dzB(x(x,u,…)=0而B()本身用x线性地表示,即用 Lagrange表示及其导数以及其散度为零的函数线性地表出,例如,甚至如B-F(第2节末),对它有div(B-r)=0而B(4(x,u,…)= const这里散度同时具有自身不变性.其中B(用给定方法由 Lagrange表示及其导数组成的散度关系,其将也得到称之为‘非本征的,所有其余的称为本征的B((y,v,…)=0反之,如果对散度的关系是依赖性(16)的线性组合,即它们是‘非本征的,那么由对D∞p的不变性B((y,U,…)=得到对D的不变性;D。成为D∞p的子群.对应const某有限群D。的散度关系,当且仅当散度关系是牛非这样,对应某个群Dρ的ρ个第一积分也允许群,因此本征的’,即群Dσ是某无限群的子群,积分I相对它下一步的积分可简化.最简单的例子就是,当函数∫是不变的用群的专门化方法得到 Hilbert的第1个结论n=+11+p()=+lm混合群'我们理解为有限群△x=p(x),yi=ci+Ei, vi y=ui(a)Sui=p(e-up(a)因此这里依赖性(16)将是△x;=ε,△u=0,bv1=∑(wn相对混合群的不变性显然意味着在积分1=//(=ua…)能量本征关系取形式∑(+)-0中z不明显出现于f中.相应的n个散度关系0u=divB(刈),(入群的最简单不变积分是=1,2,……,n)我们称之为“能量关系,因为与变分问题相应的守恒律最一般的积分I由Le微分方程(11)对应能量定律,而B()为“能量分量∵这样,下述6f+(f·△x)=0结论是对的如果Ⅰ允许混合群,那么能量关系仅在的积分来确定,因为认为函数∫仅依赖于u的一阶那种情形才是非本征的,即积分Ⅰ相对将混合群作为子群的无限群是不变的导数,用代入△x和△u的方法,可将其表为所有对x的变换以及由此产生的对u(x)的变换afna)+∑af af的群,是这类无限群的例子,在变换中仅出现任意函au: Ou ' ":+fSp'(数p(a)的导数;混合群可用专门取p((x)=;的办af∑a}p"()法得到;但仍有待解决的问题,与对I补充边界上积分所产生的群相联,这些最一般的群是否给出了,当量u受到全微分形式系数变换时,即形式(对p(x),p(x),p(x)恒等的)此方程组对两个函数(x)的情形已有解,这个解实际上包含任意函数ad Ti+>bd即∫=(4-2)(u1-a2,它除dx外还包含高阶微分,给定类型的导出变换将u1-u2会发生;更专门的变换,其中p(x)仅以一阶导数出其中表记所指自变量的任意函数现,会给出常微分形式的系数变换众所周知, Hilbert做出结论:能量本征定律的不成立正是“广义相对论的特征迹象.为了使这个cdr;……dxx结论在字面上说得有理,必须对“广义相对论这个述语比通常给出的更广泛的理解,即将其扩充到上述而通常仅研究这些变换所论依赖于n个任意函数的群给定类型的另一个群,由于出现对数项不能成为系数变换,是这样的(北京理工大学梅凤翔译自 MMI HerepHBapnaHTHble BapnanmoHHbIe OanayKMocKBa:rⅥΦMH,1959,611~630清华大学王照林校)