从分牛问题谈起

200年《和田师范专科学校学报》(汉文综合版)J1200第28卷第五期总第61期从分牛问题谈起徐兴国1杨庆升2(1.扬州教育学院高邮校区数学系江苏扬州225600:2.高邮车逻中学江苏扬州225600[摘要]本文从“分牛问题”出发,分析讨论了目中的矛盾性在|第三种分发:极限法,首先,老大分得19x1头,老二分得19尽可能公平的将牛分完的过程中,提出了多种分配方法。并对不同的分配方法产生的不同分配结果经行了讨论,最终确定最优分配方案×1头,老三分19×1头。他们一共分得19×1+19×1+19[关键词]分牛问题:矛盾;分配方法;公平性1.问题背景分牛问题是一个古老的问题,经过历年翻新己有很多版本,但=19头还剩19-19x1919头,于是还有9头没分完20其原理基本相同,其大意是说:继续分第二次,仍按老大得1,老二得1,老三得1,分别分得一位老人,临终前留下遗嘱,要把19头牛分给三个儿子,老大分得总数的1,老二分得总数的1,老三分得总数的L,按印度的/;+19头、119、1、19.结果仍没分完,还剩教规,牛被视为神灵,不能宰杀,只能整头分,三兄弟为此一筹20820+270520-203头如法炮制继续分第三展位牵牛的智者路过,询问之下知事原委,说:“把我牵的这次,第四次…最后,老大分得的数目为:头牛添进去分吧。”添上智者的这头牛,现在共有20头牛。按去世老人的要求:老大分总数的1,得头10头;老二分总数的1,得5x一+=20头;老三分总数的1,得头4,分完了,恰好还剩下智者的那一头,老二分得的数目为智者把他的那一头牵回,问题到此被解决。你可能会感叹:这真是巧妙绝伦的办法,一个难題通过“借一还一”的方法轻松的解决了1;19+1x19+1x19+.=4可是你再仔细想一想,就会发现:其实这种分的方法违背了去世老人的遗嘱。因为现在老大分得总数的10=1,老二分得总数老三分得的数目为:的5≠L,老三分得总数的4≠1.还可以从另外一个角度看,以19119194x19+老大为例按遗嘱的要求老大应得19的1,应是头,可是现在他却得了10头,怎么会这样呢?为什么会有这样的矛盾呢?下面我们讨论以上三种分法的具体操作过程,进而推广到一般分配问题。第那是因为遗嘱本身就是矛盾的,矛盾之一一方面老人家说把部分的大小排序,再依次将余下的牛分完,第二种方法呢,则先抛9头的1分给大儿子,9头的!分给二儿子,19头的!分给三儿子,开了牛的总头数这个条件,将老人要求的分数化为比例,悄的偷这样三个儿子分到的头数都不是整数,另一方面老人又说,牛必须|数,按这些整数分即可若不全是整数,则可以继续按第种方法要“整头分”,矛盾之二:一方面,老人说要把9头全部分掉,而“余数法”再分,最后再来看第三种方法,因为此法采用了极限这222,故牛不可能数全部分掉,正是为这两个自相个数等具所以直微版目中的矛,将一次分后下的牛再矛盾,才使得本来十分简单的求一个数的几分之一的问愿,变得扑限是一个整数就可结束,如果不是整数仍然可以再接照第一种方法朔迷离。老人家跟我们开了一个不大不小的玩笑。2.一般分法“余数法”来分,这里需要说明的是方法二和方法三其实是一回事都是划归为比例来做了,只有在非常巧合的情况下才有可能恰好分这里,你会就会明白:完全按照遗嘱的要求来分是不可能实|完,但是如果再结合方法一,这种分法是一种普遍适用的方法了现的,也就是说:按照遗嘱的要求,整分和分完是不可能实现的。既然这样,那我们就只能退而求其次,寻求一种更为合理的分发,3.公平性问题具体要求是:保证整分的前提下尽可能的公平。到这里问题似乎已经解决了,不论老人留下多少头牛我们都有办法分了。但是还有一个问题没有考虑:“余数法”是否一定公平第一种分发余数法,19的1是95,19的1是475,19的上是合理呢,要讨论什么是公平合理,音先我们需要一个标准,那就是38.第一步先将牛按整数部分,先分给老大9头牛、老二4头牛、老5尽可能的符合去世老人的遗愿,为了行文的方便,这里记n为老人三3头牛,还剩下19-(9+4+3)=3头牛;第二步将余下的牛按小数部留下牛的头数,m为去世老人依次给各个几子的份数,p1为各个分的大小依次分完,此时老大、老二、老三的小数余数分别是5.儿子实际得到牛的头数于是这个标准可以是:使得0.75、0.8,于是将剩下的三头牛按小数部分的大小先给老三,再给老二,最后剩下的那一头给老大对应本文中具体的题目也就是要求最小第二种分发:比例法。因1:1:1=10:5:4,这样,老大19最小,其值等于0.050得4头你会发现最优分法就是p1=10,P2=5,P2=4,这也恰209年《和田师范专科学校学报》(汉文综合版)J1200第28卷第五期总第61期不等式(组)建模应用题解题策略邓小玲(乌鲁木齐市第八十二中学新疆乌鲁木齐830000摘要]数学不等式(组)应用愿,反映了数学与生产实际的联系,际问题抽象为不等式(组)的数学问题得以解决。本文谈一下常见它要求学生能用数学的思想和方法建立解决实际问题的数学模型,这对培养学生不等式(组)的数学应用题的解题策略分析和解决问恩的能力有很大帮助在解决不等式(组)的应用题时,要有一定其解题程序为:读题(实际问题)一建模(数学问题)→求解的阅读能力和分析问题的能力及综合应用数学思维方法解决问题的能力,把实际(数学问题的解)→反馈(检验作答问题抽象为不等式(组)的数学问题从而得以解决,[关键词]不等式(组)1应用题:建模;能力;解题策略一、解不等式(组)应用题应具备阅读理解能力数学不等式(组)应用问题,反映了数学与生产实际的联系般的,不等式(组)建模应用题题目较长,解决这类问题它要求学生能用数学的思想和方法建立解决实际问题的数学模型阅读理解能力差,则分不清文字的主次,抓不住题中的关键,这样对培养学生分析和解决问题的能力有很大帮助,因此通过数学建|成为分析和解决问愿的一大图难模解决不等式(组)应用性问题是近几年中考的热点问题。但是这例1:某公司要将100吨货物运往某地销售,经与一运输公司协类问题也是多数同学感到困难的问题。在解决不等式(组)的应用商,计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆,用这6辆汽车一次将货题时要认真读题,分析处理好各种关系,把问题的主线由实|物全部运走,其中每辆甲型汽车最爹能装该种货物吨,每辆乙型轰改变处不该可盒夫数这意即和叫米给验可以r的19改为21,其他条件不变,自己来尝试一下看看结果会是怎样。由文献[]可知,实际上在正整数的范围内,能用“借一还一”法的情11非常少,仅有7种,分别是:老大佬老二老三件的头数2111/2|1/31/741由1<3,可得后一种分配方案比前一种更合理。这就告诉我1/21/31/823们运用上面的方法得到的分配结果不一定相同的,是否是最优方案1/21/31还要通过比较才能判断出。同时还有一点需要说明的是,最优方案有时不止一种。例如当老人留下的牛的头数是25时,老大得13头、1/21/31/1211老二得7头、老三得5头和老大得14头、老二得6头、老三得5头都是1/21/41/5最优解。1/2|1/41/6114.再论公平性对于分配问题中的公平性,美国数学家 M L Balinsky和由此你不得不感低古人的巧炒思,仿佛早在几千年前他们事先根据具体的现实问题给出一系列合理的约束,称之为“公理”就知道了其中的几组数据,对于如何处理以上组以外的数据,大家然后运用数学分折的方法证明是否存在某一个数学结构或者什么适可以直接运用本文中的“余激法或者先运用比法、“极当的函数或关系能满足所给定的公理,或者运用逻辑的方法去考察这些公理之间是否相容。如果不相容,则说明符合这些公理的对象现在普遍的分配方法有了,最优的分配指标又有了:就是要并不存在。经过 M. LBalinsky和 H Young的不懈努力,对经典席位分配问题发表了一个令世人眠目的结果:关于席位分配问题的公平整分不可下面就是要讨论分配方法在实施过程中会出现的问题,请看具能性定理,即完全公平的席位分配方法是不存在的。其本质原因在体的例子:若老人留下的是16头牛,其他条件不变于“局部公平性”与“整体公平性”之间的矛盾,即当要使的某个若直接运用“余数法”得:“局部公平”最优时,往往要牺牲“整体公平”:而当要使的“整老大佬老体公平”最优时,往往要牺牲“局部公平”。对于本文中的具体问牛的头数161/2题,我们要求尽可能的按照老人的选嘛来分,要使的“整体公平”最优,即最小,这样就能使得最优解有了确定性实际得到8参考文献若综合运用“余数法”和“极限法”可得:〕韩学涛.从惊讶到思考[M]湖南科技出社,199老大老2]姜启源数学模型(第二版)[M.高等教育出版社,19933]刘来福,曾文艺数学模型与数学建模[],北京师范大学出版社,2002件的头数161/2|1/4l/5searching on Distribution of Cattle次极限法一次余数法.41.2Abstract: This article introduces the contradiction in the problem of"dicattle", then introduces three methods to distribute cattle fairly as could as实际得到These three methods are studied, and ultimately the optimal distribution schdetermined这里的“极限法”并不是取极限,而是上文提到的第三种分 words: the problem of"distributing cattle"; contradiction: distributi法的思想)scheme: fair通过比较上面的具体例子我们不难发现运用不同的方法,得出作者简介:给兴国(s)男,扬州教学院高邮校区助教,华东范大学在读硕士。收稿日期:2009-04-16