灵活的应用数学技术

第34卷第1期数学进展Vol 34. No. 1005年2月ADVANCES IN MATHEMATICSFeb.2005灵活的应用数学技术杨德庄(中国科学院研究生院,华罗庚应用数学与信息科学研究中心,北京,10039)摘要:E.E.Davd指出“当今被称颂的高技术实质上是一种数学技术",H. Neunzert称《数学是关键技术的关键”.这是人类对数学的新认识一数学既是科学又是技术,数学技术主要是指应用数学技术.它的高难度突出地体现在以解决实际问题为目标的研究上.这就必须灵活地运用数学思想和方法,抓住事物内在最本质的数学结构,提炼其特殊的数学模型,给出精巧的好算法并解决之,本文简述了华罗庚应用数学技术的特色、近期发展及其某些思想与新概念等关键词数学技术;灵活性;模型算法一体化;更动目标约東法;模式元MR(1991)主题分类:00B25/中图分类号:O129文献标识码:A文章编号1000917(2005)01-0001-161数学技术—一种新观点人类对数学的认识,最初认为是一门学科,后来称其为数学科学.20世纪下半世纪,随着数学内部各分支之间相互渗透,尤其是应用数学在数学外部世界的蓬勃发展,数学的思想、方法嵌入到各种科学技术领域中,以及经济、军事、社会发展的各个方面.人们看到数学也是一种技术.这是人类对数学的更深层次的认识—数学既是科学又是技术.20世纪最后25年,人类对数学的这种新认知加深了. H. Neunzert指出:“数学是关键技术的关键”.E.E.Davd的名言是:“当今被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术”M. Atiyah也将纯粹数学中的一些理论和技巧称为数学技术.数学技术的提法是20世纪最后25年人类对数学认知的新观点2观点的重要性及其导向作用人类对数学的认识,是在人类实践活动的历史长河中逐步深入的,不同时期有不同的主流观点.一种观点在某个历史时期形成,它就会被一些人群接受,引导他们按这种观点去思考、去理性地演绎、去处理数据、去观察、去创造.这是一个传播与发展的过程.观点的导向作用是很大的,人们往往会不知不党地被卷入到某种观点所形成的潮流之中.正确的观点总是重要的,它会影响整体数学的发展一般说来,一种观点总有其相对真理部分,它的导向也必有其积极作用的一面,当然也会有它的负面的影响.比如,1900年 Hilbert提出的“23个问题”,就是他汇总了某些前人的视点,加上他本人的感悟,形成的一种对数学本质及其今后发展的观点起初,人们并不怎么理解,慢慢地它被一些人所接受.如 Bourbaki学派,形成了一种思潮. Hilbert的数学观点影响了20世纪的数学发展,特别是20世纪上半世纪的数学发展.其积极的促进作用,是人们容易看到的.但也有负面影响,这是人们不易觉察的.20世纪下半世纪,情况发生了很大变化,主要原因是二战后,应用数学的兴起和计算机中国煤化工,人们看到核心收稿日期12-20CNMHG基金项目:中国高技术研究和发展项目(863项目)3TNet资助(No.2002AA103061);国家自然科学基金(No.60241006)数学进34卷数学的发展之外,应用数学和计算机技术得到突飞猛进的发展.今天,我们谈起数学,都会着重地提核心数学、应用数学和计算机技术的互动作用.20世纪末,数学整体发展水平已达到一个新的境界.且不提过去一个世纪中社会因素对数学整体发展的作用,仅就数学界来讲,诸多数学家的数学观点,以及起主导作用的数学团队(他们可能散布在世界各地)的勤奋工作,都对世界整体数学发展做出了贡献,其中不能不提到冯·诺伊曼的贡献.他不但是一位世界一流的纯粹数学家,也是世界一流的应用数学家和现代计算技术的倡导者和奠基人.他可算是20世纪对人类社会、经济、生活影响最大的数学家.他的数学观点,来自他对纯粹数学、应用数学和计算机技术发展的全面思考,他对应用数学的推动以及他卓有远见的发展电子计算机的思想,已结出丰硕果实,还要在本世纪发挥他的影响力.冯·诺伊曼的数学观点,对20世纪的应用数学和计算技术的发展起到积极的导向作用,而应用数学和计算技术的发展自然导致数学技术提法的出现3应用数学技术数学既是科学又是技术,数学技术这种提法,本身是一种观点,这种数学技术主要是指应用数学技术人们把数学分为纯粹数学和应用数学,但这只是一种大致的分法,有时很难把某一分支或某一方向归属于纯的,还是应用的.事实上,时至今日,人们也没有说清楚什么是数学?什么是应用数学?但是数学工作者总要大体上把握它们,必须有一种观点理解它们,认识它们,因为只有这样,才知道自己该做什么和怎么做什么是应用数学?在数学界有许多不同的观点a, M. Atiyah在回答“什么是数学”时说“很困难,一种可能的回答是数学是解决‘向题的各种思想与智力技巧的集合体”.他强调“问题的作用”.纯粹数学中,如费马大定理、哥德巴赫猜想等等,吸引了许多数学家对这些问题的研究,在他们奋力解决这些问题的过程中,引进了许多新的技巧与概念,这些新的技巧与概念渗透到许多数学分支之中,推动了数学的创新,增强了美学成分,促进了数学的进步.这是来自数学内部的问题, Hilbert的23个问题正是如此M. Atiyah认为“问题”在数学发展中起关键作用如果“问题”是源于数学世界的外部,这些外部问题对数学产生刺激,也会吸引许多数学家去研究它.有时,这些问题可在已有的数学框架内处理,此时人们的任务是找出适用的工具以便求得解.一般说,这是数学的应用.它也给数学带来活力.特别地,如果这种“问题”的解决具有重大的经济与社会效益,那将是数学对人类社会的贡献,很有意义.然而,经常发生的情况是必须创造一个新的数学框架,其中的新概念反映了真实世界中被研充的现象.这是难度很大的创新研究.这就是应用数学.数学通过与“外部问题”的作用,在深度与广度上得到了发展.这种研究不但具有重大的经济与社会效益,而且具有很高的学术价值.这是非常有意义的研究P.Lax在论述“应用数学在美国的蓬勃发展”时,列出了应用数学在美国最有成就的几个领域:流体力学、计算流体力学、数学物理,以及二次大战后诞生的一些全新的应用学科,如对策论、控制论、线性规划、动态规划、整数规划和运筹学的其他分支,等等,这些学科总的目的是最优化.P.Lax强调纯粹数学与应用数学的共性和分组成一个有机的整体数学的发展,应该是整体数学中国煤化工榨数学的各个部CAMH数学的一个最重要联系在于智力方面.PLax还强调应用数学发展的环境的重要性.是什么使得在20世纪美国的应用数学得到蓬杨德庄:灵活的应用数学技术3勃发展的?也许最重要的因素是战争.战争需要应用科学加速发展,而应用数学则是应用科学的核心部分.战后,经济和社会发展又促进了应用数学的发展他建议“年轻数学家到应用数学的某些分支去一试锋芒.那里是藏着许多深奥问题的金矿,其解决有待于概念和技术上的突破.它向你展示各种方面,可以适合各种不同的口味;同时也为数学家提供了一个成为科技大企业一员的机会”,这虽然是1988年说的,今日听起来仍很新颖C.C.Lin(林家翘)认为纯粹数学是在某些公理基础上研究数学定理.它可以独立于其他理论科学的方式发展.应用数学是数学与其他科学的相互依存的部分.他强调的是数学与其他科学领域的关系.应用数学的目的在于运用数学来阐明科学概念和描述科学现象华罗庚提出了应用数学的分类观点.这种分类观点不但避免了关于什么是应用数学的某些争论,而且对于每个在应用数学领域里耕耘的数学工作者,更能明确自己的方向和位置.由于在不同方向和不同位置上的工作,有不同的评价标准,这种分类观点也减少评价上的不公正和非议,至少应用数学工作者自己心中有杆秤,不管他人怎么看,自已的份量自己心中有数这有利于调动搞应用数学人的积极性和各类型应用数学队伍的形成华罗庚把应用数学大致分成三类.一类是应用数学的基础理论研究,这类研究与纯粹数学研究在思想与技巧上没有本质差别.差别在于问题的来源不同,纯粹数学问题多数来源于数学内部,而应用数学问题多数来源于数学的外部,在研究的动力(目的)和美学观点上也有差异.另类应用数学研究是数学与别的学科领域的交叉,相互渗透、互相促进,以揭示该学科中重要的数学结构和解决有关问题为目的.第三类应用数学研究是面向国民经济系统、军事系统和社会发展系统,以解决这三大系统中提出的现实问题为目标.他认为这三类研究都很重要,都有很好的前景.在当今之中国,这三类研究力量最弱的是第三类,而我国的发展急需大量的这类研究.因此他主张大力发展第三类研究,以形成中国应用数学的特色.目前在中国,这一方向已形成应用数学的一个学科,中国科学院华罗庚应用数学与信息科学研究中心,正是这个学科的一个重要的工作站华罗庚确定他领导的中国应用数学的主攻方向是如上所述的第三类研究.因为第一、二类的研究与纯粹数学研究在思想和方法上比较相近.早在二次世界大战期间华罗庚就在中国倡导应用数学.在昆明西南联合大学任教期间,他提出了发展中国数学的蓝图,其中除纯碎数学外,对于计算数学和应用数学的构思,在当时的国际数学界的领袖数学家中,也是不多见的.在华罗庚倡导应用数学之后,就有一批原来在纯粹数学领域的数学工作者转到这些方向上来.他们中的多数都取得了不错的成绩.第三类研究具有特殊的难度,首先,它的“问题”来自数学外部,是从经济、军事和社会发展三大系统中提出来的“问题”,这种“问题”出现在人们面前时还仅仅是一种自然语言的描述,还远不是一个数学问题.把它变成数学问题,需要经过提炼.难度首先就出在这种对“问题”的数学提炼与加工上.数学修养不同的人,对同一个“问题”的提炼与加工的结果也不同.即使两者都是“高手”,由于他们可能站在不同角度观察同一个“问题”,其结果也不一样.这种把实际“问题”提炼加工成数学问题,通常称之为数学建模.这种建模的成功还依赖于能否找到恰如其分的数学概念与表达形式,以及随后能否找出合适的分析与求解的有效技巧.在这种抽象过程中,简单性( simplicity)与中国煤化工重要性还应当着重指出,不是所有的实际问题都可以用现有的数学CNMHG一切“问题都是数学问题,但是把一个活生生的现实“问题”变成数子问匙,做匙米个谷易的,变成比较“好”的数学问题,就更难了数学进展34卷以往在数学社会里,人们往往看重纯粹数学问题,而轻视从实际中提取出来的数学问题;有的认为纯粹数学面对的问题需要高智力的劳动,而应用数学面对的实际问题的研究则不需要20世纪下半世纪至今的应用数学的发展,向人们展示了应用数学研究的重要性,也向人们展示了它的高深和难度,应用数学问题的解决同样需要高智力的劳动.在世界高速发展之今日,人们更清楚地看到了在自己探索着的社会、经济、科技等领域中,特别是高新技术领域中,遇到的种种实际问题,都有其数学结构,对这些实际问题的数学结构的认知正是解决该问题的关键.高技术实质上是一种数学技术4灵活性十洞察力我们常常看到对一个著名数学家的评价,特别对 Fields奖得主的评价:“深刻的洞察力”灵活处理问题的技巧”、“令人惊叹”.这是对搞纯粹数学和应用数学的理论研究的高度评价实际上,对于面向实际问题、以解决实际问题为目标的应用数学技术的研究也应当有这种评价一般说来,对某个问题的研究,洞察力是第一位的本节小标题,“灵活性+洞察力”,把“灵活性”放在前头,表明了我们的一种观点,说明在面向实际问题的应用数学技术研究中,灵活性的绝对重要性.这是因为(1)面对活生生的实际问题,人们的洞察力与灵活性是交融在一起的.活生生的实际问题可被人们从多角度灵活观察.洞察力寓于灵活性之中(2)用应用数学技术解决实际问题,首先是把实际问题变成数学问题,即建模,在建模过程中是不允许改条件的(这与理论研究不同,改了条件就不是这个实际问题了.但是,它允许从不同角度,用不同观点审视它,可以建立各种不同的模型,而这些模型的求解难易程度不同.灵活性在这时的体现就是,你可以从诸多角度建立模型的思考中,选择一种能嵌入简单易解算法的模型.这就需要全面地调查研究实际问题的各个方面,进行细致的系统分析,灵活性贯穿这种活动的全过程(3)当选定某个视角建成模型之后,也还允许不失去本质的“更动”,一种实际意义下的“等价变动”.这种小更动,也许会带来惊人的实效,嵌入一个简单的算法,这又是灵活性的体现.4)实际问题经过(2)的灵活建模,或许又经过(3)的“更动”思考,可能仍只是建成了个极难解的数学模型.此时,“死攻”已建好的模型去求解,是不可取的,灵活、迁回战术值得提倡.因为我们的目标是解决实际问题,而不是对已建的模型的求解能力比高低(5)实际问题的解决是有时间要求的,它不允许象对待纯粹数学中的猜想那样慢慢地探索,步步地推进,这个进程可以是几十年,甚至是一个世纪或几个世纪.实际问题在某个时段内得不到解决,问题的性质就变了.所以,这必须有灵活处理的技巧.(6)在某时段内,实际问题得到解决,将产生一定的效益(经济的与社会的).得不到解决,损失也是很大的,因此衡量(评价)这种应用数学研究的标准是效益+学术水平(⑦)任何实际问题的求解过程,都只是近似逼近,我们只能求得“较好”的或“满意”的近似解202年 Nevanlinna奖得主 Madhn Sudan的r中国煤化工来说,逼近最优解和寻找最优解一样困难.这就给灵活处理这些实际片CNMHG(8)凡技术就有 Known-How,应用数学技术的 Known-How的严生要幕对实际问题的敏锐数觉(数觉是小平邦彦的提法),靠灵活的观察、灵活的思路、灵活的技巧以及形成新的概念1期杨德庄:灵活的应用数学技术5灵活的应用数学技术的几个思想与方法华罗庚40年代倡导应用数学,50年代末开始探索应用数学,通过60-70年代试点普及与推广应用数学方法的阶段,他逐步明确了自己的应用数学分类观点.与此同时,他也确定了他的主攻方向一面向实际问题、以解决实际问题为目标的应用数学技术研究.由于他在普及推广应用数学技术一“双法”(统筹方法、优选法)上花费了太多时间(将近20年),在他刚要在这个方向上开展创造性研究的时候,在“战场”上倒下了.现在“中国科学院华罗庚应用数学与信息科学研究中心”(简称华罗庚中心)正是沿着这个学科方向开展工作的我们总结了华罗庚教授的应用数学思想、观点和方法论特色,以及具体的方法技巧,开展了面向实际问题、以解决实际问题为最终目标的深层次应用数学技术研究,在经济、军事、社会发展以及信息科学与技术等领域取得了一些成果.这些成果的取得都与“灵活的思想与技巧”密切相关(1)模型算法一体化思想这种思想要求对实际问题有深刻的了解、透彻的分析,灵活地抓住问题的特殊性,建立含有特殊算法的特殊模型,“模型寓于算法,算法嵌入模型”.达到这种境界必须有很高的灵活性和创造性.实例见§6例案1,7(2)更动目标、更动约束思想这种应用数学技术主要是针对最优化数学问题的,最优化数学问题包含两大要素:目标函数与约束条件.实际问题往往非常复杂,只有对其了解、分析透彻,才可以走模型算法一体化的途径,否则,就不能达到这种高度模型既不失真,又要有特殊算法嵌在其中,这非常难!因此一般来说,只能按自己认为最好的方式去完成建模.之后,还要进一步研究求解的算法.此时有两条路子,其一是循规蹈矩的数学化研究;其二是灵活的数学变换转化,也称其为灵活的数学化研究.它是根据问题的特性采用特殊的数学处理技巧:适当地改变其目标函数或约束条件,既不使改变后的模型失真,又要使改变后的模型具有特殊的算法.其背景是:一个实际问题可以有很多数学模型,但这些数学模型的最优解是一样的.在这很多数学模型中有一类(或一个)是与自己已建立的数学模型在目标与约束上具有大致相同的形式,只在目标或约束上稍有区别.但正是这种区别,往往给我们解决问题带来转机,能够形成特殊算法.更动后的数学模型达到了模型算法一体化这种更动目标函数或约束条件,或两者同时更动的方法,我们称之更动目标约束法.实践证明,它是非常有效的.实例见§6例案2,3,5,7(3)二次建模思想更动目标约束法就是一种二次建模的做法.通过更动目标函数或约束条件,或两者都更动,去寻找特殊算法,这本身就是通过修改目标或约束,进行了再次建模在许多实际问题的研究中,由于问题复杂度很高、难度很大,模型算法一体化的做法不能一下达到,更动目标约束法也难以奏效.这时,在普通建模之后,通过二次建模,抓住问题的实质及已建模型的特性,灵活处置,使再次建模的模型变得容易求解.这种思想、技巧也具有很高的智力技巧,在我们解决实际问题中也常用,也很有效实例见§6例案4(4)模式元我们在高技术领域,经济、军事、社会发展的复杂系HH中国煤化工CNMHG题的研究中采用模式元做变量.提出模式元概念,并用它作为变量,去建模、去求解,收到很好的效果.这数学进展34卷里的模式元概念与模式识别中的模式概念不同,也与纯数学中模理论的模概念不同,它是参数变元的推广,参数变元是最简单的模式元模式元是复杂系统中某个部分或某子系统的结构形态(逻辑结构形态和硬件结构类型)和控制其运行的模型、算法及其关联参数整合的有机体;或是复杂事物的某个部分的结构形态和它的功能机理以及行为特征整合的有机体.这是一个宏观与微观相结合的概念,也是一个定性+定量+行为特征相结合的概念,是一个某种意义下整合的概念以往人们研究一个复杂系统或复杂事物时,引进大量的参变量,有的多达上千万个,这些参变量组成维数很高的空间(有时甚至是无穷维空间),给问题的研究带来了难度模式数学的出现是应对这种挑战的结果,也是人类认知的发展20世纪下半世纪,人们看到了模式科学( the science of patterns),而且认识到了“数学是模式的科学”,也就是说“数学科学不再仅仅是对数和空间的研究,它成为一门模式的科学”,“数学家在数中、在空间中、在科学中、在计算机中以及在想象中寻找模式”(L.A.Sten,也在应用中寻找模式,为了某种目的,寻找最精巧模式就是最深刻的结果.数学家研究模式、用数学理论解释模式间的关系;函数、映射、算子,将一类模式与另一类模式联系起来,产生一种数学结构.应用数学家则是在解决实际问题所产生的数学结构中洞察新的模式,或把对实际问题的模式洞察力,用于构建数学模型.因此,“模式可以启发新的模式,常常产生模式的模式以上引文提到的模式是笼统而言的,它既可以是模式元,也可以是模式元的函数、映射、算子,或是一种数学结构.比如,控制论中从纯量转变到矩阵模式;纽结理论中纽点分类用的纽结模式,新算子类和纽结类的特点出现在纽结群上在我们的应用数学研究方向上,引进模式元,目的在于改进我们对事物的科学认知,提高解决实际问题的能力在处理实际问题时,模式元可粗可细,可大可小,小至徽观宇宙中的粒子模式结构与运行形态,大到星际宇宙中星系的结构模式与运行机理,甚至对经济与社会问题无穷维描述的处理,都可以按照人们的不同追求目标,选择适当的模式元,建构模式元的数学框架.在这种模式元上,可以定义相应的“运算”,形成群.比如,纽结模式上的纽结群.这样,现代数学的最重要的基本概念,群及群理论,就可以发挥作用了.再在模式元上定义适当的映射,比如取值在实空间的实值函数,可以描述实际问题的目标函数和性能指标在最优化问题的研究中,建立在模式元基础上的数学技术,能更简易灵活地处理复杂的高难度的实际问题.这是因为1)实际问题的优化,往往是一个过程优化.模式元能灵活地描述和处理这种过程优化、灵活地运用最优化原则2)实际问题往往是多层面、多目标的,模式元能灵活地描述和处理多层面、多目标的问题,灵活地运用叠加原则3)模式元包含定性分析模式、行为分析模式、数学模型与算法模式,等等,这是参数变元所无法表达的;参变元只是模式元的最简单形式,所以模式元概念扩展了变元的内涵4)我们面向的实际问题,往往是离散型的,是离散组合型问题.模式元很适合描述这类问题,同时可以用模式元控制这类问题的大小规模,恒千求解下面用例子说明模式元概念以及如何利用模式中国煤化工在一个宽2个单位,长1000个单位的矩形中,n人AN一个单位的相互不重叠的圆?杨德庄:灵活的应用数学技术图1(i)用参数变元描述首先,在矩形所在的平面上建立直角坐标系,如图1;其次,我们可以一个一个地往矩形中放圆,从左至右,第讠个圆的圆心坐标为(x1,v),如果有两圆的横坐标x一样,顺序自上而下数,那么,最优化数学模型为Max i3≤v≤x;≤999,ⅵa,(x1-x)2+(v-3)2≥1,≠j(i〕)用模式元描述:(a)一个圆的模式(b)两个圆的模式(两圆捆绑式);(c)三个圆的模式(三圆捆绑式)(d)四个圆的模式(四圆捆绑式(a)的一个圆的模式就是以上的参数变元描述,尚没有找到有效的解法;(b)的两个圆的模式怎么放都不好.再考察(c)的三个圆模式,最优结构一定是捆绑式,而且是三个圆两两相切的一体化整合型问题简易了,灵活了,关联参变元也简单,容易验证,用这种模式最好的放法能放进2000+11个,实例见56例案1,65)研究工作方式的两种合力前面提到面向实际问题的应用数学研究与纯粹数学研究有几个不同的特点,比如,这种应用数学研究的问题多数来自数学的外部,它有与纯粹数学研究不同的研究目的和美学观点等等这种应用数学研究与纯粹数学研究的另一个不同点是:这种应用数学研究强调群体力量、团队精神;强调多学科的交叉与综合.这是两种合力:团队的群体合力和多学科的交叉综合之合力灵活性依靠研究者个人的悟性,灵活性也依靠团队合力和交叉综合之合力6)十二论总而言之,我们把华罗庚应用数学的思想与方法点、创新观点、模型论、算法论、方法论、辨思论、刘H中国煤化工类观点、探索观CNMHG论、后劲论、动力论.详见《华罗庚的数学生涯》(科学出版社,2000数学进展34卷十二论以探索、创新精神为精髓,以灵活的模型论和算法论为主题,它的导向作用,引发了特殊的数学技术的新思想与技巧.如模型、算法一体化思想、更动目标约束思想、再次建模思想以及模式元概念,等等,其间灵活性起着重要作用强调灵活性,体现在十二论主要论点的方方面面,即使是分类观点,它不仅是对应用数学总体提出分类研究的观点,而且对于研究对象也要先进行灵活分类,然后再分类加以研究,因为不同类的事物有不同的特殊性质通过灵活、科学分类,具体问题具体分析,具体处理,才能有效地解决之.对研究对象的具体研究过程,要有灵活的、辨证思维能力(整体的思维方式、交叉综合的思维方式,以及逻辑思维与形象思维相结合的方式)以达到模型与算法的真实,简单,易行,有效6几个实际案例应用数学和纯粹数学一样,它们的原理、原则、思想、概念往往比定理更重要,这是人们的认知基础,比如加法原则、乘法原则、抽屉原则、归纳法思想、反证法思想、最优化原理和分支定界思想,等等新的思想和新的概念的提出,对纯粹数学和应用数学也是同样地重要.M. Atiyah认为:“新的概念是数学进步的基本要素,……,从长远来看,它们与解决困难问题或发展新技巧具有完全同等的重要性”我相信例子更有说服力下面我们通过解决实际问题的几个例子介绍华罗庚应用数学的模型算法一体化思想、更动目标约束思想和方法,以及模式元概念的应用,以此说明灵活处理实际问题的重要性(1)新型路由器的优化设计攻关研究1)问题的来源及背景(1)问题来自数学的外部,来自通信高新技术领域的产业界(i)美国IDG公司谋求研制世界最大吞吐量(640Gbps)的高速骨干网上核心路由器.他们已经做了大量的调研分析和有关技术准备.他们清楚地知道问题在于关键技术-数学技术的突破,因此,必须寻找一个应用数学团队.他们找到“华罗庚中心”进行合作研究谈判,一周后签约,合作攻关研究立即启动i)高速通信网络的核心路由器是融合数学技术、计算机技术、网络技术、微电子技术、大规模集成电路技术、光电子技术及通信技术的尖端高科技产品,它的研发水平是衡量一个国家科技水平的重要标志2)研制过程及成果华罗庚中心抽调核心团队中的7名成员组成攻关小组从零开始(此前他们都未见过路由器)首先进行学习与沟通(向IDG派来的人员学习,同时研究有关论文、资料),然后共同研讨,经过不到一年的攻关,他们运用华罗庚应用数学思想和技巧,釆用结构、模型、算法一体化的设计模式(尤其是引进模式元概念及其灵活运用),设计出高速骨干网上核心路由器的模型+算法+程序MAP= Model Algorithm + Program最后定型为50版本.吞吐量达到64Gb,时延、抖『V中国煤化工能指标都超过世界著名电信公司 Cisco,IBM, Juniper等的设计水平CNMHG3)数学技术杨德庄:灵活的应用数学技术路由器是一种工业装置,它的功能是交换与传输经过它的信息流.它的重要性能指标包括吞吐量、丢包率、时延、抖动以及公平性等,还要求功耗小,造价低.这种装置是融合多种技术特别是数学技术的复杂系统如何运用数学技术实现优化设计呢?)首先,我们从两个枧角入手:一个是视之为一个特殊的排队网络系统(般文献大都如此;第二个视角,视之为一个特殊的多目标、多约束、多阶段、多层次的组合优化过程(i).用通常的参数变量建模的途径,由于影响各指标的参数繁多,各种参数之间的关系错综复杂,模型的描述也非常复杂,不易抓住关键点之所在,不便在参变元上直接运用模型算法体化思想.为此(i)我们对该复杂系统定义了一系列的模式元,并灵活运用模式元构建这个复杂系统的整体数学模型.这里的模式元有的是硬件结构形态、有的是信息流的排队、排序模式,有的是数据包运行的机理、有的是网络结构形式,还有的是公平性的机制和参变元等等.同时对一些类型的模式元定义一种乘法(加法)运算,构成群(一般是非交换群).这样群的理论与技术我们就可以利用了.在模式元上,再定义适当的映射(我们取与实际问题相符的实值函数).这样我们就可以描述这个复杂系统了,一般说来,由这些模式元描述的复杂系统的全体构成森林.森林中的每棵树表示一种设计模式(这就是模式元之模式).对每棵模式树所反映的多目标、多约束、多阶段、多层次的过程优化问题都得到很好的描述,即它的性能指标及其他目标都通过模式元运算和定义在模式元上的实值函数及其运算得到了表达这样,我们构建了一系列全新的数学模型,它是结构、模型、算法一体化的,多目标、多阶段、多层次的优化模型,其间嵌入了特殊的组合优化的求解技术算法).它们包括:路由器各级高效率的排队、排序模型与算法、高效率的优先权和公平性处理的模型与算法、高速和高匹配率的中心调度特殊模型与算法、各级缓冲库容量的优化配置模型与箅法,内存优化管理模型与算法,以及系统仿真模型、信号源构造模型、全局时延的马尔柯夫链的分析模型和网络分析模型以上所有模型的建立和求解的快速算法及高效实现,对研究者来说是一种挑战.我们采用引进模式元概念的灵活分析和处理的办法以及华罗庚应用数学结构、模型与算法一体化的思想和技巧,进行攻关研究,获得了成功4)研究成果具有很高的学术价值和重大的经济、社会效益5)进入863项目继续攻关研究本项研究得到国内外有关部门的好评,华罗庚中心面对实际问题以解决实际问题为目标的研究方向得到肯定,解决实际问题的探索精神、创新意识和华罗庚应用数学技术的方法论特色以及华罗庚中心核心团队的合作攻关精神和方式都得到认可在本项攻关研究成果基础上,我们进入了国家科技部863项目-T比特级路由器的关键技术攻关研究.目前已申请了两项专利(2)移动通信无线网络优化研究1)问题的来源及背景问题来自数学外部、来自福建省移动通信总公司省市移动通信网络发展十分迅速,在网络规划和建设时,一般都没有能力做好优化设计工中国煤化工可题需要在网络运行时进行调优,即使在规划和建设过程尽力进行了优CNMHG通信的预测模型(如话务量预测、无线电传播预测模型等)的不准确性,加上通信环境、地形地物及话务量等因素数学进展34卷的不断变化,需要不断地对网络的各种参数设置和规划指标进行优化调整这就要求经常性地对网络进行优化,使其保持最佳运行状态,满足广大顾客的需求,同时,使网络运营商获得最大的效益福建省移动通信运营部门,认识到移动通信网络出现的接通率问题、掉话问题、话音质量问题等等,严重地影响了移动通信网络的服务质量和效益.解决这些问题,一靠大量增加设备;另一个靠数学技术,从全局的、系统的观点、运用数学、运筹学、系统工程等优化理论和方法,对问题进行整体描述,建立相应的数学模型,提出好的算法程序,实时地对网络进行整体优化调整.在此基础上再适当调配设备,使网络处于良好状态.华罗庚中心与福建移动通信总公司,确立“移动通信无线网络优化”课题进行攻关研究2)研充过程及成果华罗庚中心的研究队伍从问题的调査研究、系统分析开始,弄清移动通信系统的物理结构,运行机理,与系统有关的主要参数、常规设计思路以及传统的工程优化调整的方法在此基础上,确定了用数学技术进行优化的思路,全局解决问题的逻辑结构与方法论,以及网络优化的目标经过一年的攻关研究,我们运用华罗庚应用数学思想和技巧,采用模型算法一体化和更动目标的思想与方法,分别建立了三种优化数学模型和算法,“达到国内领先水平,填补了国内在该领域的空白”(鉴定意见).我们还运用统计数学技术,对系统采集的样本数据进行科学的分析和处理,并对系统的性能指标进行诊断“诊断方法科学,对系统的诊断结果具有很强的说服力”(鉴定意见),与美国ADC公司在全球60多个国家150多个地区推行的软件系统“ Metrica网络性能分析系统”相比,该项研究的特色是在系统主要性能指标分析的基础上,用数学技术建立全局的优化数学模型进行整体优化,而 Metrica仅有详尽的性能分析,没有优化模型和优化功能3)数学技术移动通信网络系统是一个复杂的大系统,它的优化设计或优化改造问题是该领域的前沿热点。其难度不仅在于系统参数繁多,关系复杂,还在于系统的随机性大(比如话务量分布的随机变化大).为使系统能正常运行,一般都采用忙时分析法(以话务高峰期的话务量为准),以系统投资运营综合效益为目标函数.这是一个最优化问题,它的一般模型为:MaxFl(a)-F2 (a)-F3(a)h91(x)≥a1,g2(x)≥a2,9n(x)≥am,其中x=(x1,x2,…,xn)是系统的参变量,F1(a)是系统总收费,F2(x)是系统的投资建设费,F3(x)是维护系统的运营费设S(x)为第讠基站第j小区的话务量,对于中国煤化工,P2(),f3(a)基本上是确定的,因此用 min max si(a)更替原HCNMHG为min max Si(a)杨德庄:灵活的应用数学技术g1(x)≥st.()gm(x)≥am,与原模型在“实际意义上”是等价的看来问题更复杂了,理论上求解 min max S(x)非常困难!但是,我们根据该实际问题的特点,在这个更动模型中嵌入一个很好的算法.它是一个层上层,套中套的叠加优化迭代算法首先通过伸缩基站小区管辖半径参数变元的迭代算法,再变换覆盖模式元及切换模式元,以求更深层次的优化.数学技术的应用还反映在统计数学技术对网络系统的性能指标的样本数据的处理分析上,科学的统计数学分析,给出了系统性能的科学诊断4)研究成果具有很高的学术价值和重大的经济、社会效益(1)学术价值(与美国ADC公司 Metrica相比)(i)经济与社会效益5)获得国家自然科学基金委员会学部主任基金特别支持费,继续攻关研究本项研充经鉴定认为属国内领先水平.同时由于移动通信网络优化难度很大,各先进国家,特别国际大通信公司都在组织攻关队伍数学技术对解决这个问题居重要地位,我们得到国家自然科学基金委领导的重视,并获得国家自然科学基金部主任基金的特别支持,今后将努力在原有基础上继续攻关(3)电力变压器优化设计这是一项28年前(1975年)完成的工业产品优化设计工作.由于它是第一次实践了更动目标的思想与方法,也由于这次无奈中更动目标函数,并获得成功,事后受华罗庚教授的评点的启发,才引发出“更动”思想的,而且,这是更动目标函数的最好例子,因此,在这里列举一下需要说明的是,1975年我国电力变压器行业对电力变压器的设计还处在手工计算设计的阶段,当时,我国电子计算机也只有第一代电子管计算机(在中国科学院计算所,称109乙机),用电子计算机代替手工计算进行设计,本身就是难事,更不要说优化设计了.当时,运筹学工作者和应用数学工作者也没有成熟的通过数学建模、再给出算法、真正解决实际问题的经验.为了真正解决实际问题,必须按照当时的材料性能、工厂工艺过程的操作水平,以及变压器各种指标的计算公式,进行数学建模,然后再研究解法.因此,当时建立的数学模型十分复杂,有连续变量,也有离散变量,表达式多数是非线性的.所建模型是一个非线性混合型整数规划问题.表达式中套表达式(函数之函数)共有近80个式子,目标函数表达式更为冗长.整数规划的割平面法无计可施,分支定界法也无从下手.无奈中,发现从物理意义上考虑的另一个目标函数|u(x)-o+|p(x)-po,其中x是n维变量.如果用它替代原来的目标函数,加上我们发现的u(x)与p(x)的函数特性.分支定界法的威力一下就发挥出来了.这就是在平面矩形对角线交点(中心),做一次数值计算就可以去掉矩形的一半子矩形的所有点,这样,一种特殊的算法提出来,有效地解决了这个问题事后,华罗庚教授评点该项研究时说:在当时进行这项研充有以下几个不容易:(1)建立数学模型,不容易;(2)利用计算机,不容易;(3)中国煤中的目标函数思想的提出,不容易;(4)根据目标函数特性给出平面对分,更动目标的思想就提出来了,找一个实际上等价的目标函数(它不是奴⊥1对度时等,用它替代原来的目标函数,这种替代不影响原问题的本质.可是由于用它的替代后形成的新问题,在算法研究上发数学进展港卷生了质的变化,问题一下就变得容易求解了.在实践中,此法常用,不但用在更动目标函数上,而且也用在更动约束条件上,每一次都很成功.这种思想对于解决面向实际问题的应用数学研究是行之有效的,我们称这种技巧为更动目标法或更动约束法.这种技巧与华罗庚教授提倡的模型算法一体化思想相配合,是应用数学创造型研究的有力武器.灵活性体现在“更动”上从严格数学意义上说,更动目标函数和更动约束条件是有许多“灵活的”、“更动”空间的.请看2维线性规划问题的图解法图2左图说明,更动目标函数,可以不改变最优解(过最优解的目标函数可以有无穷多个;右图说明,更动约束条件,也可以不改变最优解(这种更动约束集方式也可能有无穷多个)还需要说明的是,更动目标约束方法与灵敏度分析的意义不同,灵敏度分析是优后分析,是分析目标函数若有一些变化对最优解的影响;更动目标约束方法是优前分析,它给出了求最优解的一种新思想目前,我们正与国内某大型变压器厂一起攻关研究,进行新型变压器的优化设计(4)准格尔露天煤矿优化设计(大型露天煤矿的优化设计)1)问题来源及背景问题来自国务院和内蒙古自治区政府.准格尔煤矿是我国最大的露天煤矿.国务院决定开发它,是因为它在我国能源格局中占重要地位.这个问题的矛盾首先出现在各有关部委(煤炭部、铁道部、电力部、城建部……)的研究院和设计院的开发盘子总和大大超过国务院的开发盘子中国科协组织12个学科的专家顾问团(带头学科是数学,华罗庚教授为总顾问)对该项目开发进行咨询研究.2)露天煤矿优化设计涉及以下一些课题研究(i)露天煤矿的矿体模型;(i)露天煤矿的最优开采境界;(i)露天煤矿矿区城市布局规划(iv)运煤输电问题的决策;(v)露天煤矿矿区优化设计;(v)能源输送的优化设计,等等我们只就第(v)个问题加以说明,因为它是二次埭塏的个Al中国煤化能源开发包括一次能源开发(煤媒、石油等)和二次电)在某个区域(比如华北与东北地区),我们考虑增加煤矿引起的输煤CNMHG乜厂引起的输电网络的扩建及最优输送规划.这是两个层次网络的叠加,能源的转换发生在发电厂,用代数式子表1期杨德庄:灵活的应用数学技术达的方程是目标函数:f(X,x,M)=∑f(x,x,M);i=1D的投资费用:f(xx,M=∑∑(,ED I=tijg2网络的运行费用f(Xxx,M)=∑∑,)∈9l=19网络的维修费用:(xM∑∑a∑∑故网络的补偿费用X.XM(i,j)∈Ωl=1发电厂的投资经费:(xxMO=∑∑∑∑aH+il=1k=l-)(m1)发电厂的维修费用:f6xx,M)=∑∑∑D的投资经费f(xX,M)=∑(1+r)(,)∈Dl=i网络的运行费用:(xx,M=∑∑(1+r)}网络的维修费用:中国煤化工CNMHGf9(X, X, M)。20++22a+m数学进展34卷2网络的补偿费用fro(X, X,M)=∑∑(i)∈百l=1满足约束(a)9网络源点的限制:对Vl=1,2,…,m,vj∈J1,ai(b)9网络节点平衡条件:Vl=1,2,v∈J2ijl其中D:运输网络新加弧的集合;2:运输网络所有弧的集合;D:输电网络新加弧的集合32:输电网络所有弧的集合;S示:运输网络中弧(i,八)的建设时间S:输电网络中弧(j的建设时间min{1x1>0,(,j)∈Dmin{>0,(,j)∈D}oo for all Tiil=0;P:第l阶段对(a,j)的投资经费,(j)∈D;Pg:第l阶段对(,j)的投资经费,(i,j)∈D;u1:(,j)单位长的维修费,(,j)∈9;分:(,j)单位长的维修费,(,j)∈忑rx:(j)的损失率,(,j)∈;Fxy:(,)的损失率,(,j)∈5;gt:第l阶段第j发电厂第t类机组,每台投资费;λ(mul):第l阶段,t类机组在j发电厂的安装时间;6(x):卡路里为x的每单位煤的价格;中国煤化工Uyt:j发电厂t类机组每台维修费;CNMHGBt:每阶段t类机组每台耗煤量Dt:第j阶段t类机组发电量,j∈J6;1期杨德庄:灵活的应用数学技术记由xn分量组成的向量为X,由xy分量组成的向量为x,由mt分量组成的向量为直接求解这两层次网络非线性混合型整数规划问题是很困难的.又没有发现可以更动的目标或约束.所以,我们走二次建模的路子,把它变成一个特殊的n阶段网络图的最短线路问题,然后用动态规划的最优化原理求解.灵活性体现在思路的灵活转换,灵活性又体现在二次建模的构思上.其技巧在于构造n阶段网络图上AA22顶点:发电厂的装机容量组成的m维向量.每阶段的顶点是前一阶段装机容量扩建后的向弧长:从前一阶段某顶点到这阶段某顶点之间的弧长,定义为对于前一阶段某顶点而言,由这阶段某頂点所引起的前层网(铁道网)的扩建费+维护费+运营费,以及后层网(电网)的扩建费+维护费+运营费之和这些费用的确定要求解若干小的优化问题,用软件包形式支持(5)军事领域的实际问题来自军事领域的实际问题,有更严格的要求和约定,但是灵活性仍然是非常有效的,由于某些原因,我们不能叙述有关问题的背景,仅从灵活的数学技术的运用上举一个例子.我们曾面对一个实际军事问题,建立了一个非线性整数规划问题,它有6000多个0-1变量,2000多个不等式约束,目标函数是决策变量的线性函数.为了灵活地解决这一特殊问题,我们引进了新的概念,定义了矩阵函数f(x),1≤i≤m,1≤j≤l,目标更动为 mine max,;f(x),给出一个非常有意义,有效的算法(6)社会发展与科技进步方面的实际问题来自社会发展与科技进步方面的实际问题,多数是政策性很强、理论基础比较薄弱的问题,经常要求我们建立一套理论,随之研究政策和相关方法技术.这里需要做大量的分析,不仅包括定性分析、定量分析,还要做行为分析.数学技术的灵活运用有着极大的意义.我们以“国家科技进步奖的理论,政策与方法研究”项目为例.我国国家科技进步奖设立几年后,由于某种原因,对该奖是否继续设立,若设立,怎样保证该奖的权威性、公正性等问题产生了激烈的争论科学地回答这个问题必须有理论依据,数学技术为理论建立提供了框架结构、分析技巧,模式元构造人群各种模式,统计数学技术对采集的数据进行分析、处理,数据、推演、观察的综合法(或称牛顿综合法)在这里是有用的牛顿时代的研究对象是天体或运动物,现在的研究对象是人类的部分群体.为了科学地评审科技成果,灵活地运用数学技术,我们提出了一种科学称量的方法系统称量法,给出了如何准确称量的方法和测不准的V凵中国煤化工7)模型算法一体化和更动目标约束思想和方法,CNMHG方面也很有效比如,我们应用这些思想和方法,对一般的线性规划数学模型的求解,给出了两个新算法.一个发表在《中国科学》(198)上,这是一个模型算法一体化的新算法;另一个发表在《中国科学数学进展34卷院研究生院学报》(2000)上,这是一个更动目标约束的新椭球算法参考文献[1] Atiyah M F. 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This is a very important new view for mathematics in the 20th centuryThe new idea leads to the fowering of applied Mathematics technologies in the world. appliedMathematics technologies are the most important part in the mathematics technologies, as wellas, are very difficult. It is because the resolving any real problem coming from practice lies in adeep understanding of them and the concerted efforts of the team- researchers in multi-disciplineHua Loo-Keng applied mathematics technologies emphasize on establishing particular modelsand finding their particular algorithms; emphasize on the idea of fexibility for resolving anyeal problem; emphasize on the idea of integrating the establishment of the model with thealgorithm of resolving the model; emphasize on idea中国煤化工e- constraint andnew conceptsCNMHGKey word: mathematics technology; fexibility; pattern variable; integrating establish-ment model with its algorithm; change-object or change-constraint method