一维热方程解的存在性

第28卷第3期(上)赤峰学院学报(自然科学版)Vol. 28 No. 32012年3月Jounal of Chifeng University( Natural Science EditionMar.2012维热方程解的存在性李慧(忻州师范学院专科部,山西忻州034000摘要:文章利用算子半群理论证明了一维热方程解的存在性和唯一性,此方法与以往解的存在性证明区别在于无须直接求解便可得到其解的稳定性结论.关键词:压缩C半群;热方程;算子;存在唯一性中图分类号:017792文献标识码:A文章编号:1673-260X(2012)03-0015-02算子半群理论是泛函分析的一个内容丰富的DwA=Exm存在重要分支,该理论在许多实际问题中,例如量子力定义2算子学中的 Schrodinger方程、中子迁移方程、人口发展Ax- lim Ttx-x,x∈DOA方程以及分布参数控制理论和工程技术中都得到称为强连续半群T(的无穷小生成元,简称为生成了广泛的应用本文用算子半群知识考虑如下一维元热方程初边值问题引理個(Hile- Yosida生成定理)线性算子du(x,t)_du(x, t)(,x)∈(0,+∞)×(0,1)A生成压缩C0半群的充要条件为(a)A为闭稠定算子;u(,O)=u1,1)=0,t∈(0,+∞)(b)p(A)2(0,+∞),且对于每个A>0,有IR(A,A)u(O,x)=1(x),x∈(0,1)解的存在性和唯一性≤1首先介绍一些文中用到的算子半群的基本知引理2若A生成C半群T(),则初值问题识.u(O=Au(t1准备知识的解存在且唯一,其解为u()=T(uO)=:定义设X是 Banach空间,从X到X上2主要结论及证明的有界线性算子单参数族T,t≥0如果满足:取状态空间为X=L(,1这样初边值问题(1)可T(0)=转化为抽象 Cauchy问题(2)VL, s20, T(t+s)=T(UT(s)u(=Au(0) Do(3)Vx∈x,JimT(x=x,则称T()是强连续算子半u(O)=ux)x∈(0,1)群.定义算子A如下特别地,若Ⅴt≥0,有mo≤1,则称为压缩CoAg="∈D(A)半群D(A)={olo∈H0,1)∩Ho,1),且o(0)=5(1)=0定理1如上定义的算子A生成X上的压缩C0半群证明因为CO,1cDA),所以A是稠定的;Re入+2由泛函分析知识得L(0,1)上的常微分算子A=d在D=Cn0.1cD()上不是闭算子,但是A可所以当A0时,Am≤pg2以闭化其闭包是H.1所以上述定义的微分算gl≤gh,则有子A是闭算子IRAA川≤1下证p(A)0,+∞)由上面证明知算子A满足Hile- Yosida定理设A=α+,令A-A)f=0即f"-Af=0的条件,所以算子A生成压缩C0半群T(.证毕解二阶微分方程得到:(x=CeN'+CeYx定理2对于每个u(x)∈HO,1)∩H(0,1)初边由f0)=1)=0得到eY+e=0即e2=1,所以2值问题(1)存在唯一解VA=2ni,则Aa=-n2r,n∈N证明此定理的证明可由定理1和引理2直对于每个A,相应的(x-A)=0的解为:fx)接得出=Cnem+Cem,再由fO)=f(1)=0有Cn-Ca,所以f(x)=C(em-em).于是入An=-n2mcoA);参考文献另外对g∈x入≠入,方程(X1-A)=g有唯一1) Pazy A. Semigroup of linear operators and ap解;所以p(A)2(0,+∞);plications to partial differential equations M]最后证明对每个A0,ROA,A川≤1Springer-Verlag, New York, 1983[2 ]Lawrence C. Evans. Parital Differential Equa对∈DA),有(x=f0d则tions(M. American Mathematical Society, 1998〔3〕卫雪梅;傅初黎;非古典热方程解的存在唯一性Hn2=dk≤ L. delle2sme2U兰州大学学报,1998(2):16-20(AI-A=A0-(r",=N2+f2≥(A+2)m2;〔4〕姚明华热传导方程次解的性质黑龙江科技对于Vg∈X,对于满足AI-Af=g的唯一f,有信息,2011(3):177-177l2(g0≥Re(Q-A)0≥(RA+2)mn2,则