N重极限点解分支的数值分析

第22卷第1期工程数学学报2005年02月CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSFeb.2005文章编号:1005-30852005)01-0167-04N重极限点解分支的数值分析*王贺元,徐美进,王伟志,袭著有(辽宁工学院数理系,锦州121001)摘要:对N阶分歧问题极限点解分支的数值逼近问题进行了研究。给出了解分支的结构及求解分支的扩充系统,证明了扩充系统解的存在性,讨论了解曲线的数目,并给出了误差估计关键词:N重极限点;分歧方程;数值分析分类号:AMS(200065J15;47H15:58F14中图分类号:O175.29;O17791文献标识码:A1N重极限点处解分支的结构及求解分支的扩充系统方程奇异点处解的数值逼近是分歧数值计算的焦点,文献(1]讨论了分歧点处解分支的数值逼近问题,本文讨论另一类奇异点,极限点处解分支的数值逼近问题设E是 Hilbert空间,G:E×R→E是非线性c3映射,考虑参数独立方程假设点(u,0)∈E×R满足(H1)Go:=G(u0,Ao)=0这里及以后的下标0均表示相应的函数或算子在(0,0)点的值(H2)DGo是指标为0的 Fredholm算子,0为其一个代数重数为N的特征值。(H3) dim(ker(Du)=N(H4) DAGo Range(D, Go在(H1)-(H3)假设下,方程(1)称为N阶分歧方程,如果条件(H4)成立,(u0,)0)称为方程(1)的N重极限点。下面我们讨论N重极限点(uo,A)处解分支的结构及其数值逼近,所用符号D,D2,Dx,…分别代表全导数或相应的偏导数,由 Fredholm算子理论可知,存在p,∈E,=1,2,…,N,使得E1=ker(D2G0)=span{1,92,…,N}(9,9)=6E1= ker(D Go)=span(1, /2,., Nvi, vi)=dijE2=Range(D Go)=alue (u, api)E2= Range(D,Gt){ulu∈E(u,p)=01≤i≤N}E=E1⊕E2=E1⊕E2收稿日期:2002-11-26.作者简介:王贺元(1963年3月生),男,博士,教授,研究方向:分歧理论及其数值分析基金项目:国家重大基础研究专项基金(973)(G19992801-7);辽宁工学院博士启动基金中国煤化工CNMHG第22卷其中D2G是DCo的共轭算子,(,)是ExE上的对偶积或内积,⊕表示E子空间的直和。以后将用到下列符号i=DmG09;9;1≤i,j≤N=(k,9)1≤k≤Ngo= DAGoa6=(vk,9)1≤k≤N众所周知2,并非方程(1)的所有根(u0,0)都产生解分支,然而孤立根却是如此2,我们仅考虑此种情况下解分支曲线的结构及路径跟踪问题引理11在(H1)-(H4)假设下,方程(1)在(o,A0)处解分支曲线具有如下形式∫u()=0+2+P,v∈B2A(t)=Aot∈T=[-to,tol这里a=(a2,a2,…,aN)∈RN,B∈R是t的函数,a2y;=∑a;y;为张量记法。证明如果G(v(t),A(t)=0|≤to并且(v(0),入(0)=(0,o),在t=0处关于t求导得D Gou(0)+ DAGoA(0)=0由(H4)必有)=0,因此v'(0)=ta+t(t),v(t)∈E2,(t)=+ap1=09,结合(2)我们可以假设u()=20+t),t∈I=-to,tol所以有(0)=a2+v(0),X(0)=B(0)=0,因此,v(0)=0,故有t2u(t)u(t)∈EA(t)=o+tB(t)t∈I=[-to,tol证毕为寻求合适的函数v,a,B,定义如下扩充系统F:E×RN×R→E×RMF(,a, B, t)≠0WN, v))Go(0)+w(0)F(,a, B,0)=FIt其中()=(t)a(t)+96(t)(0)=5qijaoao, a0=a(0), Bo= 6(0中国煤化工CNMHG王贺元等:N重极限点解分支的数值分析引理12如果t∈I,a(t)∈C(I,RN),B(t)∈C(I,R),那么由(5),(6)所定义的映射F(v,a,3,t)在t=0处是连续的。由此引理,我们得到下面定理定理11在(H1)-(H4)假设下,求方程(1)通过(0,A)点的解曲线u(t),A(t)等价于求F(va,B)=0的非平凡解(v,a,B)∈E2×RNxR。2解曲线的存在性及数目下面我们讨论方程(1)通过极限点(uo,A0)的解曲线的存在性及其个数,为简单起见这里做全局正则化≡1(局部等价于(0)≠0,首先讨论Dva)F(v,a,t)((o,a)的正则性,其中ao=(ab,a2,…,a),而且要用到下列符号f&(ao, 1)=202 aao+ao, kf=[f1,f2,…,fN]其中aaab表示双重指标求和,下面类似符号均与此意义相同,符号Rank"02表示y0的秩,容易证明下列结论引理21设(a0,1)∈RN+1,当Rank=B0=a2a=N,k=1,2,…,N时,则DaF(,a,A,0)(m(0)a0)在ExRN上是正则的根据引理2.1及隐函数定理,我们有下列结论。定理21假设引理21的条件和(H1)(H2)成立,而且u(0)∈E,那么有常数to>0,至少存在一个,至多存在2N个不同的连续向量函数{(v1(t),a1(t),aN(t),t∈(-to,tol}cE21,…,,1≤l≤2N满足(vi(t), ai(t),证明系统(7)是N元二次多项式, Bezout修正定理表明,如果(7)是非退化的,它最多有2N个解,因此系统(7)最多有2N个根,假设aa1(O),…,a3N(0)(=1,…,,1≤l≤2)是系统(7)的非零解,由于(0)∈E2,有u(0)=qmno(O)a00)+∈E2m,n=1,…,N,=1,…1,1≤l≤2其中a(0):=a1n(0),所以存在唯一的n(0)∈E2,(=1,…,l,1≤l≤2)使得DCov1(0)+u(0)=0,(i=1,…,,1≤l≤2N)显然(n(O),a1(0),…,a(0)(=1,…,1,1≤1≤2)是F(v,a,3,0)=0的解,即(6)至少存在一个非零根(v(0),a1(0),…,aN(0),由引理21和隐函数定理,存在to>0和唯一映射((),a1(),…,aN():{-t0,to→E2×RN,使得F(u(t),a1(t),……,aN(t),t)=0,t∈[-to,tol因此至少存在一个,至多存在2N个不同的连续向量函数{(v1(t),ai1(t),…,aN(1),t∈[-to,tl}cE2×RN,i=1,…,,1≤l≤2满足F(v(t),aa1(t),…,aN(t),t)=0中国煤化工CNMHG第22卷证毕所以我们有下列结论推论21如果定理21的假设成立,方程(1)至少存在一个,至多存在2N个如下形式的不同解曲线相于(o,o)ui(t)=wotap+tvi(t)入(t)=A0∈[-to,to],这里a2=a;°参考文献:[1 Mei Zhen. Numerical approximation of simple corank 2 bifurca tion problem[D]. Doctorate dissertation,of Marburg. 1999: 83-872 Dwight W. Decker, Multiple limit point bifurcation[J]. Journal of mathematical analysis and applications,1980:75:417-4303 Bouligaand G. Revue Gener, Sc Pur Appl, Bull Soc Philomath, 1984: 55Numerical Analysis of Solution Branches of Multiple Limit PointWANG He-yuan, XU Mei-jin, WANG Wei-zhi, XI Zhu-youDepartment of Mathematics and Physics, Liaoning Institute of Technology, Jinzhou 121001Abstract: Numerical approximation of solution branches for multiple limit point is discussed, structionof solution branches and the extended system at multiple limit point are given, existence of solutionfor the extended system is proved, number of solution curves is given, error estimate is presentdKeywords: multiple limit point; bifurcation equation; numerical analys中国煤化工CNMHG