拟线性热方程的函数分离变量解

2012年4月纯粹数学与应用数学Apr.2012第28卷第2期Pure and applied mathematicsVol. 28 No. 2拟线性热方程的函数分离变量解娄丹,谢离丽(西北大学数学系,陕西西安710069)摘要:用群状结构法硏究拟线性热方程的分离变量解,对于允许和型分离变量解的二阶拟线性热方程给出了一个完整的分类.说明了一些带有函数类型反应项的方程具有函数分离变量解,推广了前人的结论,关键词;函数分离变量解;群状结构法;拟线性热方程中图分类号:O175.2文献标识码:A文章编号:1008-5513(2012)02-0242051引言本文研究带有反应项的拟线性热方程ut=(K(uux)x+A(a)K(u)ux+ D(a)的函数分离变量解,其中K(u),D(l)均为足够光滑的函数.分离变量法是用来解决数学物理中的带有初边值条件偏微分方程的有效方法.李点对称的方法在带有变系数的线性偏微分方程的分离变量解的研究中扮演了十分重要的作用2.对非线性的偏微分方程而言,一个自然的问题就是它们是否存在分离变量解.因此,研究非线性偏微分方程的分离变量解是有意义的例如文献③对带有热源项的非线性反应-扩散方程ut=(D(u)ur)x+b(cQ(u),B2+0的函数分离变量解作了具体的研究对于(mn+1)维非线性偏微分方程:E(t, u, ux, ut, Wrr, Urt, utt, ...)=0这里u=u(x,t),x=x(x1,x2,…)如果方程(2)有形如u=(x)+v(t)的解,称之为和形式的分离变量解;如果方程(2)有形如u=φ(x)v(t)的解,则称之为乘积形式分离变量解如果方程(2)有形如∫(u)=φ(x)+(t)的解,这里f(au)≠u,f(u)≠lt,称之为函数分离变量解.研究表明许多非线性偏微分方程有函数分离变量解.收稿日期:2011-05-20.基金项目:国家自然科学基金(10671156)作者简介:娄丹(1985-),硕士生,研究方向:偏微分方程第2期娄丹等:拟线性热方程的函数分离变量解243文献3-5中分别研究了方程ut=(D(u)ux)z+ B(a)Q(u),=(D(u)u)x+B(x)Q(),ut=(A(a)D(u)ux)x+ b(a)Q(a)的函数分离变量解,下面将讨论带有反应项的拟线性热方程(1)的函数分离变量解2群状结构法如果方程(2)中的E不显含t,则设ux=G(x,u),w=F(x,u)运用群状结构法6,得到如下方程组Fx +GFu= Fgu(3)E(a, u, F, G, Fx, Gx, Fu, Gu,".)=0为了获得方程(2)的函数分离变量解,令G(x,u)=9(x)h(u),从(3)式第一个方程可以解出F(x,t),得F(x,)=h()f(m)n0=C“4+-0)=/m(4)从而得到如下形式的函数分离变量解h(sg(y)dy +n(t)3拟线性热方程的函数分离变量解下面考虑方程(1),根据群状结构法理论,把G(x,u)=9(x)h(u),F(x,u)=h(u)f(m)代入到方程(1)中得到∫满足:Df=gxK+g(Kh)u+Agkth这里方程(1)具有(5)式确定的函数分离变量解注意到∫是不依赖x的函数,于是对(6)式两边关于x进行微分,得到n5+90hKn+20(b)+(402+92(Kh)mnh+42hkn+gDn+9Dhn=0.(7)这里考虑h(ω)=1的情况,此时方程(1)有和型的分离变量解:H(u)=t=/9()dy+m(t)244纯粹数学与应用数学第28卷方程(7)意味着:gxrK+3ggxKu+g Kuu+(Ag)K+ AgKu+gDu=0记r代表由g,9,93,(Aq)x,Ag2,9张成的线性空间,dimr=2.根据r的维数,求解方程(8)决定的函数K(x)和D(u)的表达式情形1dimT=2此时A和g满足下面的方程组g3=a19+a24g2,(Ag)x=b1g+b24g2其中a1,a2,b1,b2均为实数.将(9)式代入方程(8)得到函数K(u)和D()满足下列的ODE系统2+b1K+oa2b1Ku +a1Kuu+Du=0,2+b2)K+3a2b2n+a2m+Kn=0.下面分情况讨论方程(10)的解(i)a2=0,b2≠0K(u)=c1e-bzu(u)=(+a2b2c1e-b2+c2,b2其中c1,c2以及以后出现的c3均为积分常数.(i)a2=0,b2=0.K(u)D()=-b2C1+(il2≠0.令△=(2+b2-8a2b(a22+2)=(02h2-2,61=-2+2,b2=-b2(a)当△>0,b2≠0时K(u)=c1e-01x+c20(u)=-m1e-61-me2e92+c3,其中61+anb2a2b1+a1b2b(b)当△>0,b2=0时K(u)=a1 a2b)c2emu-b1Ciu第2期娄丹等:拟线性热方程的函数分离变量解245其中m=-1(c)当△=0时K(u)=(D(u)=-(mc +nc2e-o1u-mc2ue02u+ C3其中b=b2如-动情形2dim=3.此时A和g满足下面的方程组99x=a19+a2g°+a3Ag11)(Ag)x=b19+b29+b3A92其中a1,a2,a3,b1,b2,b3均为实数.将(11)式代入方程(8)得到函数K()和D(u)满足下列的ODE系统(2a203+a3b3+b)K+(3a3+1)Kn=0,2a2+a3b2 +b2)K+3a2Ku+Kuu=0(2a1a2+a3b1+b1)K+3a1Kn+Da=0.下面分情况讨论方程(12)的解.令a2-4(a3+1)b2(i)当△>0时,分以下几种情况:0,b2≠0K(u)=cie u+C2e-ouD(u)=(Mb1-3a)e2e-0u-(Xb1+3a1)c1e+c3其中a3+1,(a3+1)63+(303+1)b2=0,6(b)a2=0,b2=0Ctua1a2+e12-(2a1a2c2+2b1c3+3a1c1)+e3,其中(c)a2≠0,b2=0K(u)D+nce246纯粹数学与应用数学第28卷其中(a3+1)(b3-a2)b12(i)当△<0时,K(u)=e(c1 cos(Bu)+C2 sin(Bu))CC2)+C1入2+B1C1cOSx2+B2m+301c2edu sin(u)+其中入B△,a3=-,m=2a1a2+b14结论本文利用群状结构法讨论了拟线性热方程的函数分离变量解问题.结论是对于某些具有函数类型反应项的方程,能得到函数分离变量解参考文献[1 Bluman G W, Kuwei S Symmetries and Differential Equation M. New York: Springer, 1989[2 Miller W. Symmetry and Separation of Variables[M]. Reading: Addison-Wesley, 1977.3 Qu C Z, Zhang S L Group foliation method and functional separation of variables to nonlinear diffusionequation[J. Chin. Phys. Lett., 2005, 22(7): 1563-15664 Qu C Z, Zhang S L. Extended group foliation method and functional separation of variables to nonlinearwave equations[J. Commun. Theor. Phys., 2005, 44: 577-5825 Hu Y, Qu CZ, Yin Hui. Functional separable solutions to nonlinear diffusion equations by group foliationmethodJ. Commun. Theor. Phys., 2007, 47: 193-196左苏丽.运用群状结构法求非线性波方程的函数分离变量解门J.厦门大学学报,2008,47(1):12-157]勾明.拟线性波方程的函数分离变量解J兰州大学学报:自然科学版,2009,45(1):107-11Functional separable solutions to quasi-linear heat equationLou dan. Xie lili(Department of Mathematics, Northwest University, Xi'an 710069, China)Abstract: In this paper, we considered the separable solutions to the quasi-linear heat equation with the groupfoliation method. A classification was carried out for the second order heat equations which admit additiveseparable solutions. The result is an extension of some known conclusions about the functional separation ofvariable solutionsKey words: functional separable solution, group foliation method, quasi-linear heat equation2010MsC:38Q80