蔡氏电路动力学行为研究及仿真

第29卷第1期徐州工程学院学报(自然科学版2014年3月VoL 29 No. 1Journal of Xuzhou Institute of Technology ( Natural Sciences Edition)Mar.2014蔡氏电路动力学行为研究及仿真李泽彬,黄济,黄雷,汪明珠,姚有峰(皖西学院传感网与信息处理综合应用实验室,安徽六安237012)摘要:基于蔡氏电路和蔡氏二极管电路,构建蔡氏电路数学模型,利用仿真和数值计算给出双涡卷吸引子的相图、时域图和频谱图,并分析在平衡点处的动力学特性.研究结果表明:在一定参数和初值的条件下,可以产生双涡卷吸引子,且蔡氏电路输出波形是非周期的、不可以预测的,对初值具有敏感性,其频谱是连续的关键词:混沌;蔡氏电路;动力学中图分类号:TP391.9文献标志码:A文章编号:1674-358X(2014)01-0036-06混沌是自然界客观存在的一种运动形式,其系统具有对初值特别敏感性,即初始值的微小差别经过一段时间后可以导致系统运动过程的显著差别.1983年,美国加州大学的蔡少棠教授与日本枣岛田大学进行学术交流时发明了蔡氏电路.蔡氏电路是非线性电路中能产生丰富复杂动力学行为的最简单、最有效的电路口.目前,蔡氏混沌电路广泛地应用在混沌控制、传感器应用、混沌同步及保密通信等诸多领域2,因此很多学者对蔡氏混沌电路进行了有意义的讨论和研究60,但多数在研究系统的动力学行为时不够深入基于此,从电路构成人手,建立数学模型,并利用 Multisim软件仿真和 Matlab软件数值计算对特定参数下的蔡氏混沌电路做了进一步研究和探讨这一工作对开展蔡氏混沌电路在各领域中应用起到了基础性理论指导,具有较高的实践意义,蔡氏电路模型蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统,如图1所示.该电路使用3个储能元件(电感L、两个电容C1和C2)、一个线性电阻R和一个非线性电阻Nk(蔡氏二极管).其中非线性电阻NB是核心元件,其实现方式很多这里采用 Kennedy于1993年提出的方法由2个运算放大器和6个电阻组成1,如图2所示对图2蔡氏二极管电路模型进行 Multisim仿真.其中,6个电路取值为R1=3.3kg,R2=22k0,R322k,R4=2.2kΩ,R=2209,R5=2200;运算放大器采用TL082.对蔡氏二极管电路模型进行伏安特性分析,并将所得数据经数值拟合得到伏安特性曲线,如图3所示L C2TCi图1蔡氏电路模型图2非线性电阻NR电路模型收稿日期:2013-09-12基金项目:安徼省高等学校省级自然科学重点研究项目(KJ2010A323);安徽省高等学校省级自然科学研究项目(K2013A262)六安市定向委托皖西学院市级研究项目(2012LW006,2012LW007,2013LWoo9)中国煤化工作者简介:李泽彬(1979—),男,安徽六安人,讲师,硕士,主要从事非线性电路与微弱信号检CNMHG李泽彬,等:蔡氏电路动力学行为研究及仿真由伏安特性曲线可以看出数据分布存在负电阻区域和正电阻区域,由于运算放大器TL082采用士9V电源供电,使得负阻的输出电压有一个限值,当超过此限值之后,整个负阻就表现出正电阻的性质了0.001由于正阻区基本处于电路产生混沌现象时001的工作区段之外所以可以认为其影响极小,理论分析和模拟都可以忽略正阻部分.01从图3中可以看出蔡氏二极管的伏安特性4.001曲线具有分段线性特点,其函数形式可写为f(ua)= GUci (G- Gb)0.003(uc +Eal-uci-eal)(1)MyR/V由 Kirchhoff电流定律(KCL)和Kirchhoff电压定律(KVL)得到蔡氏电路图3蔡氏二极管的伏安特性曲线的动力学状态方程为Ci x duc/dt= G(ua -ua)-f(uc)C2×dvc/dt=G(u-a+i),(2)L×diL/dt其中函数f(uc)是由蔡氏二极管的伏安特性曲线来决定的为了研究方便,取x=va,y=uea,z=Ra/C2,r=t/RC2,a=GR,b=GR,a=C2C,B=R2C2/L,将式(1)、(2)变换为标准形式:dy/drzdz/dr==-Bybr ta-b x>1,f(r)x|≤1bx<-1,在式(3)、(4)中,a与B、a与b的变化,反映了电路中元件参数的变化情况2蔡氏电路动力学分析与仿真2.I平衡点的稳定性分析将式(3)写成线性方程:0110(5)B 0令X=(x,y,z)T,平衡态时有X=0,即+f(r)0(6)x+z=0根据式(4)、(6)R3的3个子空间中国煤化工CNMHG徐州工程学院学报(自然科学版)014年第1期D1={(x,y,z)|x>1D={(x,y,z)||x|≤1中都有唯一的平衡点,分别是P+=(k,0,-k)∈DO=(0,0,0)∈D,k,0,k)∈D其中k=(b-a)/b+1式(3)在每个子空间中,都为线性方程,把系统(3)在平衡点处线性化得到 Jacobi矩阵,即a(1+c)其中c=b(x>1,x<-1)这里电路参数取a=10,B=15.68,a=-1.2768,b=-0.6888令det(J-AE)=0,则平衡点P+和P处对应的状态方程为3.11210可求得其特征值为λp=-4.5418,σ,土ja,=0.2149士3.2707.方程的3个根中,有1个负实根和2个实部为负的共轭复根,所以平衡点P+和P是不稳定的鞍点平衡点O处对应的状态方程为2.768100可求得其特征值为入o=3.8890,0±ja0=-1.0605±3.1679i方程的3个根中,有1个正实根和2个实部为负的共轭复根,所以平衡点O是不稳定的鞍点.系统的3个平衡点均为不稳定的,因此选择合适的参数蔡氏电路会出现混沌.2.2耗散性和吸引子的存在由于v=2+9y+0z(1+c)-1,c=b(x>1,x<-1),c=a(x≤1),当c=b时,vV<0,即系统(3)是耗散的,且以指数形式V=-a(1十b)V收敛.这说明,当t→∞时,包含系统轨迹的每个体积元以指数a(1+b)收缩到0.所以系统最终会被限制在一个体积为0的集合上,且会渐进运动固定在一个吸引子上,说明了吸引子的存在性2.3 Lyapunov指数和 Lyapunov维数Lyapunov指数是判断系统混沌现象的最常见方法.它能够定量地描述动力系统在相空间中相邻轨道的发散程度,若动力系统在一定区域内的第1个 Lyapunov指数A1>0,则动力系统在这个区域上会出现混沌现象,并且对于初值是敏感的在平衡点处的局部区域内计算系统(3)的第1个 Lyapunov指数,可以得到:A1>0.283,因而蔡氏电路的运动处于混沌状态.其系统(3)的 Lyapunov维数为Σλ;=2入1+A=2.13,由此可见,系统(3)的 Lyapunov维数为分数维,验证了蔡氏电路会出现混沌2.4蔡氏电路仿真2.4.1 Multisim仿真在蔡氏电路中电感器L和电容器C组成一个损耗可以忽略的训H中国煤化工CNMH容器C1组成李泽彬,等:蔡氏电路动力学行为研究及仿真个移相电路.取参数C1=10nF,C2=100nF,L=18mH,R=1.68k,对其电路进行 Multisim仿真,即从LC谐振回路中引出一个信号输入到虚拟数字示波器A通道,再从RC移相回路中引出一个信号输人到虚拟数字示波器B通道,将两个通道的信号合成得到合成的李萨如图.电路仿真得到ua-uc相图和时域图,如图4所示结果表明:在上述参数情况下出现双涡卷吸引子的混沌现象,时域波形表现出非周期的、不可预测性(b)“e2时域波形a)ue2-ae相图(c)#e1时域波形图4ucn-uc相图和时域图对蔡氏电路产生的混沌序列进行FFT分析,结果如图5所示.频谱分析的关键是区分随机白噪声和确定的随机(混沌).由于白噪声是由大量独立的因素产生的,因此其功率谱的振幅与频率无关,即具有没有任何声音的谐波结构的功率谱应为连续的平谱.而对于混沌而言,由于它是非周期的,所以它的功率谱仍是连续的,但由于混沌运动极其复杂,功率谱中会出现一批对应新的分频及倍频的峰所以混沌的谱不是平谱,即谱中出现了噪声背景和宽峰,对应的FFT分析结果为一连续谱线因此,当系统出现混沌时,频谱表现为连续的特征蔡氏电路10.0040.00-50.0060.0070.0051.00k76.00k101.00kFrequency/Hz图5uc信号FFT图2.4.2 Matlab仿真根据系统(3)的数学模型,参数取值为a=10,B=15.68,a=-1.2768,b=-0.6888设定初始系统初始值为(0.1,0.1,0.1),利用 Matlab对蔡氏电路进编程计算得到图6、图7.xy,xz,yz及xyz的相平面图,如图6所示.其中二维的相平面图是三维的相平面图在某个特定坐标轴上的投影,从仿真结果图可以看出,蔡氏电路的正规化状态方程描述了一个连续时间系统,而这个系统在所给参数和初值的条件下可以产生双涡卷吸引子的混沌现象.从图7的时域波形中可以看出,当蔡氏电路出现双涡卷吸引子时,电路的输出波形是非周期的、不可以预测的,这正是人们在研究混沌时需要得到的波形由此可以看出Mlab数值计算和上述 Multisim仿真结果是一致的中国煤化工CNMHG徐州工程学院学报(自然科学版)2014年第1期Chua systemChua system22-05(a)x-y-z相平面图(b)xy相平面图(c)x-z相平面图(dy-z相平面图图6相平现图(a)r-T(b)y(c)z-T图7时域波形图图8是初始值为(0.1,0.1,0.1)和(0.100000000.1,0.1)的xy相图比较从图中可以发现,尽管初始值的差距很小,但系统的轨线却差距甚大,说明蔡氏电路对初始值极为敏感Chua system(0.1,0.1,0.1)(0.1000000001,0.1,0.1)YH中国煤化工图8不同初始值下xy相图CNMHG40·李泽彬,等:蔡氏电路动力学行为研究及仿真3结语基于蔡氏电路和蔡氏二极管电路,构建了蔡氏电路数学模型.理论分析得出:蔡氏电路在合适的参数情况下,3个平衡点均为不稳定的鞍点;系统具耗散性存在吸引子;系统在一定区域内的第1个 Lyapunov指数大于0且具有分数维的 Lyapunov维数.对其进行仿真和数值计算结果表明:在一定参数和初值的条件下,可以产生双涡卷吸引子的混沌现象,其频谱表现为连续的,输出波形是非周期的、不可以预测的,对初值具有敏感性随着对蔡氏电路动力学行为研究的深入,其在保密通讯、功率电子学、自动控制、电力系统、自然灾害预测等领域将得到有效的应用参考文献[1] Michael P K. 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Chua's circuit output waveform is aperiodic and unpredictable, and is sensitive to the initial value. The powerspectrum of this chaotic signal is continuous.Key words: chaos; Chua's circuit; kinetics(编辑徐永铭)中国煤化工CNMHG41