基于FFT的空间重采样算法的性能分析

2013年7月川大学学报(自然科学版)第50卷第4期Journal of Sichuan University (Natural Science EditionVol 50 No 4doi:103969iss.0490-6756.2013.04.022基于FFT的空间重采样算法的性能分析贾巨库,何培宇,张勇(四川大学电子信息学院,成都610065)摘要:空间重釆样方法是一种不需要角度预估计的宽带DOA估计方法,它利用相位聚焦的方法实现宽带信号中不同信号子带的信号子空间的一致.而基于FFT变换的空间重采样算法利用傅里叶变换特性实现空间采样频率的变换,但此方法对阵元的选择以及参考频率的选择等都有一定的要求,本文从阵元个数、参考频率、子带划分、信号入射角度以及信号带宽等多个方面对基于FFT空间重采样算法进行了全面细致的性能仿真分析,为该方法的应用推广、工程实现提供了较为有意义的参考关键词:宽带DOA;傅里叶变换;空间重采样;性能分析中图分类号:TN912文献标识码:A文章编号:0490-6756(2013)4-0781-06The performance analysis of spatial resampling based on FFTJIA Ju-Ku, HE Pei-Yu, ZHANG Yong(School of Electronics and Information Sichuan U niversity Chengdu 610065, ChinaAbstract: Spatial resampling is a wideband direction of arrival (DOA )estimation method with no need topre-estimate the angle of incidence. It uses phase focusing to uniformize the subspaces of wideband signals sub-bands. The spatial resampling method based on FFT uses the Fourier transform to adjust thespatial resampling rate. Yet, the performance of the spatial resampling method based on FFT largely depends on such factors as the amount of array elements choice of the reference frequency, etc. A detailedperformance analy sis of the spatial resampling method based on FFT is given. This analysis is givenfrom multiple aspect, e.g. number of array elements, reference frequency, sub-band division, angles ofincidence, signal bandw idth, etc, w hich makes it a valuable reference for follow-up study and engineering implementationKey words wide-band DOA, fourier transform, spatial resampling performance analy sis引言的预估计,且最终测向结果很大程度上受到预估计结果准确性的影响目前,对宽带信号的DOA估计,主要分为有为了避免因初始方位角的估计而引入误差,文两类方法:基于非相干信号的处理方法(ISM)和基献[1提出了广义阵列流型内插算法,引入了指向于相干信号处理方法(CSM).ISM算法主要问题矢量的贝塞尔函数近似表达式,从而将方向矩阵变在于计算量大,无法估计相干信号源CsM算法可换中国煤化工有关,另一部分与频率分辨相干信号源,分辨率较高,但需要进行方向角有HCNMHG函数表示导向矢量时收稿日期:2012-06-11基金项目:国家自然科学基金(6作者简介:贾巨库(1987—),男,河北衡水,2010级硕士研究生,主要研究方向为信号处理理论通讯作者:何培宇,E-mlil:spysbsya163.com四川大学学报(自然科学版)第50卷引入了误差,而且要获得聚焦矩阵需要在每个子带a(内进行特征值分解,因此运算量很大文献2道首先1cxp(-jgn)…cxp(j(M-1)gn)提出将一组阵元输出数据看做是空间信号的离散k=1,2…,K;p=1,2…,P采样值,以此作为空间频率的概念,信号通过频率映射滤波器达到空间频率的变换,即阵元间距的变式中,gn=2ml/sin/e,4为第p个目标的入射换,从而得到虚拟阵列输出角文献[3]同样应用此概念提岀了插值矩阵的方对于宽带信号,在信号与噪声相互独立的条件法文献[4利用FFT变换实现虚拟阵元间距的变下,子带f的协方差矩阵表示为R()满足换,文献[5对文献[2]和[4中的两种方法进行了R(A)=E X(X"(R)H比较,得出基于FFT变换的空间重采样算法更优A(fuR(fu)A"(f*)+ Ro(fa的结论从目前的文献来看还没有对基于FFT的式中,R(fA)=ES(f)S"(f),R()为噪声空间重采样算法较全面而细致的性能分析,本文从协方差矩阵参考频率、阵元个数、划分子带个数、信号入射角度以及信号带宽等多个方面对基于FT空间重采样3空间重采样算法进行了全面细致的分析,以期为该方法的推广由式(1)和式(2)可以看到,方向矩阵不仅与信和工程应用提供较为有意义的参考号的入射角度aaG有关,而且与信号的2信号模型频率有关,那么不同子带的阵列流型随频率的变化而变化,这就造成了宽带信号各子带的信号子空间由M个阵元组成的均匀线阵,各阵元间距为不同,对单独一个信号而言,其阵列流型中的第md,为避免相位模糊,d为入射信号最高频率所对行第k列元素为应波长的一半空间中有P个远场宽带信号,占有exp((j(n-1)2dfisin0/c))相同的带宽,其入射方向分别为a,a…,鼻,则第(4)m个阵元上接收到的信号可表示为由式(4)可以看到,要保持不同频率处的阵列流型tn(t)s(t+(m-1) dsin a/c)+m(t)相同,需满足dfk=C(C为常数2…,M;p=1,2…,P这样,在不同频率处可以得到相同的阵列流(1)型式中,s(t)为p方向入射的宽带信号,ma(t)为加通常我们选用既定的某一参考频率f及其实性高斯噪声,c为波的传播速度际物理阵元间距d的乘积作为常数C,即若将宽带信号划分为K个子带,则其f处的dfk= fo do= c频域表达式则与f频率对应的阵元间距可以表示为对应频率tm(ft)的函数S,(fk )exp(j2 Tf(m-1)dsin B/c)+ nm(L)d(fa)=d fo/fs(7)k=1,2…,K1,2……,MP0=f0/f由式(7)可得:为了使得不同的频率子带对应则阵列的输出矩阵形式可表示为相同的信号子空间,当子带的中心频率压缩p倍X(f)=x(f)x(f)…xw(f)时,所对应的阵列间距应扩展p倍A(&S(f)+N(f)对于均匀线阵作Y中国煤化子果排可以将A(f)=[a(f)a(A)…a(n)同1不则,到的一组阵元数据看(f)=(f)s(f)P(f4)作对入射信号进行了多次时域采样.因此可以应用A(/)是M×P维的方向矩阵,其中元素表示为信号的时域处理方法处理这组阵列接收数据4期贾巨库,等:基于FFT的空间重采样算法的性能分析b)a>1时,D= Round(M/a)+M,对X:()插零个数为(D-M)×N点其中 Round(·)表示取最接近的整数,4)获得虚拟阵的采样输出a)p≤1时,对插零后的X(f)进行D点的逆FFT变换,直接得到虚拟输出X(f)图1阵列信号接收示意图b)p>1时,对插零后的X(f)进行D点Fig 1 Schematic of receiving array signal的逆FFT变换,并按照( Round(p)+1)间隔取行数据得到X(f);傅里叶变换性质:然后,取X(f)的前D行作为虚拟阵的采样x(d) X(u)(8)输出X.(f)5)利用虚拟阵列输出,估计聚焦后的采样协信息扩展p倍同样,也可以通过变换信号的频域方差矩阵信息来实现其时域信号采样率的伪变化R A2X,(F)X,(fi)这里,可将阵元接收的一组快拍数据看作入射信号的短时序列,傅里叶变换到频域,在频域对其6)利用窄带的 MUSIC算法进行DOA估计进行补零扩展,傅里叶反变换后,实现了信号空间4实验仿真采样率的伪变化,即虚拟阵元间距的变化,如图2所示实验一信号入射角度对算法影响实验条件:接收阵列是一个15阵元的均匀线阵,阵元间距为信号最高频率对应波长的一半,人射信号为相干信号,中心频率为2000Hz,相对带宽50%,快拍数N=200,划分子带21个,空间重采样算法的参考频率选择为信号的最低频率1500Hz,重复独立试验次数为30次,采样率为40kHz噪声为高斯白噪声,信噪比SNR=10dB图2空间重采样变换后阵列示意Schematic of array af ter spatial resampling将宽带信号划分为K个互不重叠的子带,每个子带满足窄带信号的假设,子带中心频率为f(k=1,2…,K),参考频率为∫m(一般设为信号的最低频率),为了获得各个子带信号子空间的致需要的阵列输出个数D=Mf1/fm(f为信号的最低频率),对于第k个子带,阵列的输出为X(f)=[X1(f),X2(f)…,X(f),那么利用FFT插值的宽带信号方位估计步骤如下:-50-40-30-20-10010203040501)对每个子带的采样输出X(f)做M点的时角度(°)FFT变换,得到X()中国煤化工2)计算当前频率与参考频率的对应关系:aCNMHG重采样算法的影响g 3 Incident angles impact on spatial resampling3)对X:()进行插零由图3可知,沿阵元法线方向入射信号的估计a)p≤1时,D= Round(M/),对x()误差最小,随偏离法线程度的增大,计误差逐渐插零个数为(D-M)XN点784四川大学学报(自然科学版)第50卷变大,当超过40°时,估计误差急剧增大,因此此算法的估计角度范围较窄,对其工程应用范围产生定限制实验二参考频率对算法的影响实验条件:接收阵列是一个15阵元的均匀线阵,阵元间距为信号最高频率对应波长的一半,入射信号为相干信号,中心频率为2000Hz,相对带宽50%,入射角度分别为10°、14°,划分子带21个,快拍数N=200,重复独立试验次数为30次,采样率为40kHz,噪声为高斯白噪声,信噪比SNR=10dB.空间重采样算法采用信号最低频1500170019002100率作为参考频率参考频率(Hz)图4中平均误差值为同一参考频率下的三个图4参考频率对空间重采样算法的影响入射信号估计角度的误差平均值,由图4可知,参ig. 4 Reference frequency's impact on spatial考频率为信号最低频率1500Hz时,均方误差只有amp20dB,算法在参考频率为1700Hz时,估计误差最小,由第二部分的操作步骤可知,虚拟阵元个数D= Round(M//f),虚拟阵元D的估计与参考频率f有关,当f/f为整数时,不存在D的近似估计,所以参考频率f的选取对于估计的准确性有一定的影响.同时,在不以信号最低频率作为参考频率fm时,则p>1,如果入射信号带宽过大,且算法不以最低频率作为参考频率时,在进行操作步骤中的第4步时就可能出现只能获取单个采样输出的现象,即只获取一个虚拟阵元数据,就无法进行DOA估计,因此选取高频作为算法的参考频率时,会对入射信号的带宽有一定的要求,0.4应用范围变窄相对带宽实验三信号带宽对算法的影响图5信号带宽对空间重采样算法的影响实验条件:接收阵列是一个15阵元的均匀线Fig 5 Signal bandw idths impact on spatial resampling阵,阵元间距为信号最高频率对应波长的一半,入射信号为相干信号,中心频率为2000Hz,角度分实验条件:接收阵列是一个15阵元的均匀线别为-20°、-10°、14°,快拍数N=200,划分出的阵,阵元间距为信号最高频率对应波长的一半,入子带频率间隔为100Hz,空间重采样算法的参考射信号为相干信号,中心频率为2000Hz,相对带频率选择为1500Hz,重复独立试验次数为30次,宽50%6,度分别为-20°、-10°、14°,快拍数N采样率为40kHz,噪声为高斯白噪声,信噪比200,重复独立试验次数为30次,采样率为40SNR=IO dBkHz,噪声为高斯白噪声,信噪比SNR=10dB.空图5中,均方误差值为同一带宽下3个信号估间平田位是征频率作为参考频率计角度均方误差的平均值,由图5可知,在相对带中国煤化工带子带划分个数下宽为0.1时,均方误差只有—30dB左右,相对带3CNMH的平均值,由图6可宽为06处,算法取得最佳估计效果,基于FFT空知,相同带宽条件下,在子带数为10与50处算法间重采样算法的估计效果随着带宽变大而变好,当取得最好估计效果,子带数为20与30处,效果较相对带宽超过一定界限时,估计效果开始变差差,由第二部分的操作步骤可知,虚拟阵元个数Dk实验四子带划分对算法的影响= Round(Mf/f),从仿真条件可计算得,参考频4期贾巨库,等:基于FFT的空间重采样算法的性能分析率f=1500Hz,频带宽度为1000Hz,当子带数f、fm确定后,阵元个数M变换导致了估计虚拟为10时,Mf/f计算结果均为整数,即计算虚拟阵元D时的误差不同,所以性能存在差别,因此算阵元个数D时不存在近似计算问题,当子带个数法对阵元个数也有一定的要求,并非阵元个数越多分别为20、30、40、50时,Mf/f计算所得结果中越好有小数存在,因此需要对其进行取整处理,这就造成了D的估计误差不同,在子带数为20处取整时造成误差较大,最终DOA估计效果较差,而子带数为50处时取整造成误差较小,则所得DOA估计效果也较好.因此,当阵元个数以及参考频率确定时,虚拟阵元D估计误差的大小与各子带中心频率f的选取有关,当划分子带个数合理时,能有效减小甚至消除虚拟阵元D的估计误差,从而提-100高DOA的估计性能140阵元个数图7阵元个数对空间重采样算法的影响Fig 7 Number of array eler4结论基于FFT的空间重采样算法与CSM算法的思想相同,均为利用聚焦思想将各子带的信号子空0.20.40.6相对带宽间对齐后叠加,因此此算法保持了解相干的能力,同时也不需要进行角度的预估计.空间重采样算法图6子带划分个数对空间重采样算法的影响的有效估计范围在-40°~40°之间,估计范围较Fig 6 Sub-band divisions impact on spatial resampli窄,其工程应用范围产生一定限制.因为噪声为独实验五阵元个数对算法的影响立的,利用时频域变换的方法进行原始信号的插值实验条件:接收阵列为均匀线阵,阵元间距为估计不可避免的出现误差,同时由D=信号最高频率对应波长的一半,入射信号为相干信Round(Mf/f)可以看出,插零个数与阵元个数、号,中心频率为200Hz,相对带宽50%,角度分别参考频率以及子带中心频率有关,且需要近似取整为-20°、-10°快拍数N=20,划分频率子带数,这样也不可避免的引入误差因此基于FFT空21个,空间重采样算法的参考频率选择为150间重采样算法对阵元个数、参考频率、子带划分个数等都有一定的要求,在选择阵元个数、参考频率Hz,重复独立试验次数为30次,采样率为40kHz,及子带划分数时尽量保证计算出的虚拟阵元数噪声为高斯白噪声,信噪比SNR=10dB图7中均方误差值为同一阵元个数下3个信M为整数,进而减小误差,在保证以上条件情况号估计角度均方误差的平均值,由图7可知,在低下,此算法能取得较好的估计效果阵元个数时算法估计效果较差,随着阵元个数增参中国煤化工加,估计效果逐渐变好,且均方误差基本保持在CNMHG[1 Doron MA, Doron E. Weiss A J Coherent wide-80dB左右,而在阵元数为16时,估计效果达到最rayJ好从计算虚拟阵元个数D= Round(Mf/f)可IEEE Trans. Signal Processing, 1993, 41: 414看出,虚拟阵元D的估计不仅与各子带频率∫、[2] Krolik j, Swingler d. Focused wide-band array pro-参考频率∫m有关,也与实际阵元个数M有关cessing by spatial resampling [J]. IEEE Trans AS四川大学学报(自然科学版)第50卷SP,1990,38(2):33 Friedlander B, Weiss A J. Direction finding for wide[71 Debasis Kundu Modified M USIC algorithm for estiband signals using an interpolated array [J. IEEEating dOa of signals [J]. IEEE Signal ProcessingTrans Signal Processing, 1993, 41(4): 16181996,48:85[4]朱维杰,孙进才.基于快速富式变换插值的宽带信号[8] Prasad K p, Satyanarayana P. Fast interpolation al-方位估计[J],声学学报,2002,27(6):513orithm using FFT [J. Electronics Letters, 1986[5]田野,赵春晖.两种实现宽带信号空间重采样测向算法的比较[J]现代电子技术,2008,272(9):1456]赵春晖,黄光亚,李刚.基于FFT变换的空间重采样[责任编辑:伍少梅]宽带Root- Music算法].应用科技,2007,32(3):中国煤化工CNMHG