局部熵的高维重分形分析

系统科学与数学J. Sys. Sci. Math. Scis28(1)(2008,1),4050局部熵的高维重分形分析严珍珍(南京师范大学数学与计算机科学学院,南京210097;南京邮电大学数理学院,南京21003陈二才(南京师范大学数学与计算机科学学院,南京210097)瘸要对不变测度建立了高维形式的重分形分析,即考察与多维参数相关联的重分形分解利用非紧集或非不变集的高维(q,山)嫡,给出了局部熵的高维重分形谱的一个关系式关键词重分形分析,局部熵,拓扑熵,熵倍增条件MR(2000)主题分类号28A80,37D251引言设(X,d为紧致的度量空间,f:X→X是连续映射,μ是非原子的Bore不变测度,重分形分析的主要问题是描述测度的局部奇异性.一般地,重分形分析主要是与研究 Borel测度的局部(点态)维数相关联,在文(中,重分形谱是维数谱,即函数f(a)= dimH({t:d(x)=a})由于一般的动力系统不具有微分结构,因此文(2用不变测度μ的局部熵取代了局部点态维数,同时用集合的拓扑熵取代了集合的 hausdorff维数,其重分形谱是熵谱,即函数E(a)=hop(f{x∈X:h4(f,x)=a}).而文3对某些双曲动力系统建立了高维形式的重分形分析.本文对不变测度p,建立了局部熵高维形式的重分形分析,即Va1,a2≥0,Vq,q2∈R,有hiop (, Kai, aa)=q1a1 +9202+hha(, 91, 92, Ka1, a?)2定义及引理定义21关于测度μ的下、上点态(局部)熵的定义如下A)=二(-1(B9),项2单1(-1其中B1)={∈x;(a,()<=0,,中国煤化工述关于E的极限存在CNMHG国家自然科学基金(10271057,10571086)和南京邮电大学青蓝计划(NY206053)资助项目收稿日期:20050415,收到修改稿日期,200605-101期严珍珍等,局部熵的高维重分形分析称在z的局部熵存在,若b(f,)=h2(,2),由文囤,对μ-ae,x∈x,局部熵存在,Bp: hu(f, r)=hu(, a)=hu(, r)设l={U1,U2,…,UM}是X的一个开覆盖,串U是一个序列U1,U2,…,Un,其中ik∈{1,2,…,M},其长度n记作n(U),所有长度为n的串组成的族记为Wn),且Wn4UW().对任意U∈Wn(),定义k>nx(U)=U∩fUn∩1…∩fn+Un=ex:/ CE E Ui,k=12…,n称串族F覆盖集合Z≌X,若ZsUX(U设s∈R,P为串族,定义自由能量如下F(F,8)=∑exp(n(U)8)U∈r对给定集合2,记M2,)=fF(F,,其中下确界取遍覆盖2且满足rcW2n)的所有串族.令M(z,,8)=limM(z,l,s,n),则存在唯一值h(z,)满足h(z,0)=sup{8:M(∠z,,8)=+0=inf{:M(z,l,)=0}由文间],下面的极限存在hp(,Z)=,limh(2Z,0定义22称hp(f,Z)为∫限制在集合Z上的拓扑熵,简称拓扑熵引理21拓扑熵具有以下性质i)htop(, Z1)s hop (, Z2), Z1 CZ2iii)hop (f, UZi)=sup htop(, Zi),VZisx, i=1, 2,设,2为非原子的 Borel不变测度,qn,q∈况,下面定义集合的高维(q,2,p1,2)熵.这种思想方法来自文⑤,6]设g={Bn(x1,)}是至多可数族,t∈R,定义族9的(q,g2,t)-自由能量为FuI,a(9,91, 92, t)=A1(Bn (c e ))u2(Bn (z;, e))exp(tni)给定集合ZX,Z≠以及c>0,N∈N,令M12(,n,q,te,N)=infF2(,q,,这里下确界取遍所有满足下列条件的有限或可数族g={Bn,(x1,l)};:x;∈z,n≥N, ZCUBn、(r;2)当Z=时,对任意的q,9a,e,N,定义M,2(0,q,9,te,M)=0由于M1n(2,n,g,t,E,N)关于N是非减的,因此下面的极限存在Ma.(Z, 91, 92, t, e)=lim MC, u (Z, 91, 92, t, E, N)=sup Ma u(Z, 91, 92, t,E, N)由于M1m2(zq1,q2,t,E)关于Z不具有单调性,令中国煤化工Mui, wa(Z, q1, 92, t, e)=sup MeYHCNMHG由上述定义,不难证明系统科学与数学28卷引理22集函数M1,2(,q,g,t,e)具有以下性质i)Mx2(,q2,q,t,E)=0;ii)MH1,a(Z1, 91,92, t,e)< MH1 a(Z2, 91, 92, t, e),VZ1SZ2i)lMnn2(U;2,q1,m2,t,e)≤∑AM12(2,q,g,t,e),V么sx,讠=1,2,引理23存在唯一确定的值h12(f,q1,g,z,e)∈|-∞,+],使得t< hHi, u?(, 1, 92, Z, e)Mn1,2(z,q1,g2,t,E)=0,t>hn1,n2(,q1,g,Z,e)引理24下面的结论成立i)h-1,2(f,q1,g2,0,E)=-∞;ii)hui, ua(, 1, 92, Z1, E)shui, ua(, 41, 92, Z2, e), vZ1 Z2ii)hui, Ha(, 91, 92, UZi, e)=sup hp1 u2 (, 91, 92, Zi, e),VZiSX, i=1, 2,定义23集合Z的(1,g,p1,p2)熵定义为91, 92, 2)=lim p1, ua(, 91, 92, Z,E)(21)下面说明上述定义中关于E的极限的存在性若q,q2≤0,对e1>E2>0,令g={Bn,(x;,E2)}是Z的中心覆盖,则￠"={Bn1(x,1)}也是Z的中心覆盖,且F412(,q1,g,)≥F2,2(y,q,g,t),故MHl, ua(Z, 91, 92, t, E2)>MHl, 2(Z, 91, 92, t, E1),从而n12(f,q1,9,2,e1)≤h,2(,q,g,Z,e2因此(21)中的极限存在一般地,当q1,q2>0时,关于E的单调性不再成立,因此需要附加的条件定义24称不变测度μ满足熵倍增条件,若对任意充分小的ε>0,有C(=n()<0容易看出,若测度满足熵倍增条件,则8upup出:12<∞对任意a>1及充分小的E>0成立若测度,j=1,2对任意的e∈(0,0)满足熵倍增条件,取e1,e2∈(0,E0,a=a>1,则存在C=C(a)<∞,使得ui Bn(a,Ai B,Ai(Bn(, E2))(qi+qa)Mul,a(Z, 91, 92, t, E1)严珍珍等:局部熵的高维重分形分析从而hu, ua(, 91, 92, Z, E2)>hu1, wa(, 91, 92, Z,E1)因此(21)中的极限存在当q1≤0,g>0时,若测度p对任意的ε∈(0,-o)满足熵倍增条件,结合前面两种情况的讨论,(21)中的极限存在引理25由引理24及定义23,下面的结论成立i)hn1,n2(,q1,g2,)=-0;i)hn,2(f,qh,q,z1)≤h,(f,q,g,2),ⅤZ1sZ2ii)hmi, ua(, 91, 92, Z4)s sup hul, a(, 91, 92, Z1),ZiSX, i=1, 2,3主要结果及证明设a1,a2≥0,q1,g∈R,记Ka,a2={x∈x:h1(,x)=a1,hn2(f,x)=a2}下面证明本文的主要结果htop(, Kan ag)=qa1+q2a2+hua,ua(, 91, 92, Ka1, a2)当x∈Ka1,a2时,有如(-1()21m(k(B()=,了=12选取单调递减序列EM→0(M→∞),令>0,j=1,2记Ka1a2.M={x∈Ka1aaj-5y< lim inf ( -i1logA(B(r,EM))), j显然Ka1,a2,MsKa,a21M+1,且Ka,a2=UKa1,a2,M由-1ogH(Bn(x,e),=1,2关于c的单调性,x∈Ka1a2,Ve>0,有limsup( ogu(Bn(z,e)))N,有a-6<-lgH(Bn(x,)<∝+;,j=1,2令Ka1a2,MN={x∈Ka,a2,M:N=N(x,61,6,M)N,9={Bn、(r;eM)}是Ka1.2.M,N的开覆盖,其中x;∈Ka1,a2MN,且n;≥n.由EM<,则Vx,存在串U(u):n(U(l)=n,使得Bn(z1,EM)sX(U(l).从而Ka1a2,M,NUBn(x;,EM)sUX(U),故族F={U(}是Ka1a,M,N的串覆盖,由vi∈N,xi∈Ka1.a2,MN且n≥n>N,有exp(-(a,+i)ni)sui(Bn(i, EM ))S exp(-(a-S)ni),j=1,2若q,q≥0,则(Bn、(r,EM)>∞xp(-q(x+6)mn),j=1,2,且Wi(Bn (=i, EM))u2(Bn, (ai, EM)9 exp(≥∑exp(-1(a1+61)n)eap(-ga2+62)n)exp(-tn2exp(-ni(q1@1+92a2+q181+9262+t)2∑e∞p(-n(U))≥M(KaMN,l,n其中s≥qa1+qa2+q61+qo2+t因为g是任意的中心覆盖,则MAl, a(Kai, aa, M, N, 91,92,t, EM, n)>M(Ka1,a3, M N, U, 8, n)若q,≤0,则H(Bn1(z;eM)>exp(-9(a-5)n),j=1,2,且∑H(Bn,(r,EMl)2(Bn、x;,M)"e-tn)≥∑1(Bn1(x,EM)2(Bn1(z,EM)ep(-tm)≥∑∞(-q(a1-6)n)exp(-g2(a2-62)n)exp(-tn)>exp(-ni(ana1+9202+9101-92 2+t)2> exp(n(U)a)>M(Ka, aa, M, N, u, 8, n)DEr其中s≥qa1+q2a2-q61-q2+t因为g是任意的中心覆盖,则Mhl, ua (Ka1, aa, M, N, 91, 92, t, EM, n)2 M(Kai,a2, M, N u, s, n)若q≤0,q≥0,结合以上两种情况的证明,也有Me,a (Kai, a, M, N, 91, 92, t, EM, n)>M(Kal,az, M, N, u, s, n)总之对q,g∈B有M(Ka,a1M,N,b,a,n)sMe中国煤化工八令n→∞,则CNMHGM(Kai,ap, M, N, u,s)s Mh, a(Kan, aa, M, N, 91, 92, t, EM)S Mui, a(Ka1, ga, M,N, 91, 92, t, EM)1期严珍珍等:局部熵的高维重分形分析定理31Va1,a2≥0,Vq1,q∈R,有top(, Ka,an)qa1+qa2+h12(f,q1,g2,Ka1,a2),则存在q,q∈R使得y=(huop(Ka1a2)-q1an1-a2(f,q1,q2,Ka1a2))>0.因为hok)=dm0ka,,O,从而对上述>0,可找到有限开覆盖满足h(kanga, u)>91a1+9202+hh1,ua(, 91, 92,若q=0,取为任意数,j=1或2若|>0取6=如7,j=12选取足够大的M,N,使得以下条件成立h(Ka1,a2,MN,b0)>qa1+g2a2+hl1,(f,q1,2,Ka1a2)+2eM<6(0hun2(,g,g,ka1a)+2>h(,9,9,a,M由h(Ka1,a2,MN,O的定义,得M(Kai,ga, MN, u, q1@1+92@2+hul, a(, 1, 92, Ka1, aa )+2n)=+oo令8=qa1+q2a2+h,两(f,q,g,Kan,a2)+2,t=h,2(,q1,g,Kan,a2)+y-|q11-21,8-t=qa1+qza2+y+q161+|g2|62>q1a1+g2a2+|q|61+|ga|62由引理31,Mui, u,(Ka1,a3, 91, 92, hui, Ha(, 41, 42, Kai, a)+r-1q1d1-192 02, EM)=+oo. (3但是hn1n2(f,q1,gz,Ka1a2)+-|q1|61-|q2|62h2(,,9,Kam)+y-4-4hnn(9,9,Ea1,M)2 hmi,ua(f, 91, 92, Ka1, a3, M, N, EM)由引理23,有M2,n2(Ka1,a2,gh,g9,h1,n2(,q1,g,Ka1a)+y-lq11-ga|52,EM)=0.(32)(31)和(32)矛盾,从而假设不成立.证毕引理32设61,62>0,l为X的任意有限开覆盖,且存在某个M∈N,使diam4M设F为覆盖z的任意串族n()=m(U2n>N不失一般性,假设x(U∩z≠,wU∈r.设a{U)∈X(U∩Z,由EM>2diam(4),则X(U)sBn(Un)(z(Un,eM,从而Bn(U)(x(U),eM)}是z的中心覆盖.由x(U)∈ZcKa,.2,MN,n(U)>N有exp(-n(U)(aj+6)≤H(Bn(U)(x(Un,eM)≤exp(-n(U)(a;-6),j=1,2若q1,q2≥0,则<2A(Bn(u)((U), Em)Ha(Bn(u)(=(U/),EM) exp(-n(U)t)≤∑ep(-n(U)(a1-61)ep(-n(U)(a2-62)exp(-nmUn)U∈r≤∑p(-n{Uqna1+qa2-m61-g2+)≤∑exp(-n(U),U∈r其中,s≤q1an1+g2a2-q161-q262+t若q1,g≤0,则M.n2(2,q1,9,tEM,N)≤∑H1(Bn1(0,eM)m2(B,u(a(U),eM)exp(-n(U)≤∑ep(-n(Un(a1+61)exp(-n(U)/(a2+2)exp(-n(U1)≤∑∞(-m(Uan+ma+1+2+)≤s∑ep(-n(U))其中,8≤q1a1+g2a2+q61+q2b2+t若q1≤0,q2≥0,结合以上两种情况的证明,也有类似结论.因为是Z的长度为n的任意串覆盖,Ⅴ8≤q1a1+q2a2-a|61-|al|62+t,有M1n2(,q,qa,t,EM,n)≤M(∠z,l,,n两边令n→∞,则Man2(2,q1,q,t,EM)≤M(,l,8)≤M(Ka1a2M,N,,).由ZcKa1,a2,MN的任意性,有M12(Ka1,a,M,N,q1,q,tEM)≤M(Ka1a,M,N,v,)定理32Va1,a220,Vq,∈配,有hop(f,Ka1a2)≥qa1+g2a2+hmx,n2(f,qh,g2Ka1a2证类似于定理31的证明,结合引理32可得.由定理31和定理32即得本文的主要结果定理33a1,a2≥0,Vq1,g∈R,有htop(f,Kan1a2)=qa1+qQ2+hm,2(f,q,g,Ka1,a2)注3,1本结果对有限个参数的情形也成立4符号空间中的一个例子中国煤化工在前面我们已经得到主要结果CNMHGhop (f, Kai, aa)=q1a1+9202+hu1,a(,q1,1期严珍珍等:局部熵的高维重分形分析应该指出,由于无法计算h,-2(f,q1,g,Ka1a2),我们仍然不能从上式得到局部熵的高维重分形谱的更多信息.但是,我们可以借助上式对局部嫡的的高维重分形谱进行上界估计(作者已有另文论述).下面我们将给出符号空间中的一个例子来计算h1,n2(f,q,q2,Ka1,a2)设E={1,2…,m},m≥2,赋予E以离散拓扑,设积空间Zn=ⅡE,移位映射σ:跏m→跏m定义为o(x1x2…)=(x2x3…).令R=(r1,r2,…,rm)满足00,a2(q1,g2)06(q,g2)(42)q设引理41 dimH(Ea1(,4)a2(g,y)=qa1(qn,g)+qa2(q,gz)+β(q1,g),其中(q由(41)式确定引理41的证明来自吴晓荣,见附录在下面的讨论中我们总是取R=(,r2,…,rm)=(,,…,).x∈m,设q(z)=log prs1,则P(a,1)=0.又由文7中的定理916,1存在唯一的平衡状态p1=HP.因此,由文!中的引理6,有hwp(a,2)=a1(a,y)lm∑()=P()-a1(m,)=-a1(,g,中国煤化工CNMHGhup(o, r)=a1(g, 92)*limlogp(En)=-lim -,=a1(g1, q2)+00 logr(an)(43)系统科学与同理,Ⅴx∈Σm,设y2(x)= log wr1,则uw(o, r)=a2(91, 92)+lidon 2ogwz=a2(q1, 2)(44)由引理41,结合(43),(44)两式有dimH(Kar(qn, g ) a(gi ga)=q1a1(91, 92)+92a2(q1, 92)+A(q1, 92)(4.5)文⑨给出了拓扑熵的一个等价定义,设集合zcX,固定E>0.称至多可数球族F={Bn(x,l)}覆盖Z若 ZCUBn,(x,E)对={Bn、(x;,E)},记n(r)=mn,令6∈B,定义m(2N)=E(-m),其中下确界取遍所有覆盖Z且n()≥n的族F={Bn(x1,e)}令m(2,8,E)=,limm(z,s,N,),则存在唯一值h(f,Z,)满足h(f,z,e)=sup{8:m(z,81e)=+}=inf{8:m(2,8,e)=0}从而,hop(,Z)=limh(f,z,e)下面用这个等价的定义给出拓扑熵与 Hausdorff维数间的关系引理42设ZCEm,则dimH(Z)=htop(o,Z)证若Z=0,则两边均为负无穷大,等式成立.若Z≠给定N∈N,e>0,设F={Bn(x2,e)}是Z的任意覆盖对E>0,唯一存在k∈N,满足exp(-k)≤6 dimHAgn, q2即dimH(ear(gn,g2), aa(q1, g))2q1a1(q1, 92)+92a2(a1, 92)+B(a1, 92)(51)lg(直m)logr[n+q1ogrlaz/n +B(g, ogr(z/nlogp[cn] log w( n=q1a1(q1,q)+g2a2(q1,q2)+B(q1,q2),vaz∈Ea1(,9)a(q1,q)所以dimH (Ean(gn,g),algu g)s q1a1(q1, 2)+q2@2( 91, 92)+A(q1, 92)(52)由(51)及(52)可得结论成立HIGHER-DIMENSIONAL MULTIFRACTAL ANALYSISOF LOCAL ENTROPYYAN ZhenzhenCollege of Mathematics and Computer Science, Nanjing Normal University, Nanjing 210097)(College of Mathematics and Physics, Nanying University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003)CHEN ErcaCollege of Mathematics and Computer Science, Nanjing Normal University, Nanjing 210097)Abstract The higher-dimensional multifractal analysis of local entropy for arbitrary in-variant measures is established. By using the higher-dimensional (a, u)-entropy of non-compactor non-invariant sets, the equation related with higher-dimensional multifractal spectrum oflocal entopies is obtainedKey words Multifractal, local entropy, topolTYH中国煤化工 ing conditionCNMHG