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伯努利方程Bernoulli equation

时间：2020-03-01 来源：网络 浏览：
流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
　　方程的形式 　对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：
　　　　　　　

式中Z为距离基准面的高度;p为静压力;u为流体速度;ρ为流体密度;g为重力加速度。方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N·m/kg，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z不变，上式可简化为：
　　　　　　　　

此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小，流速小处压力大。
　　对于单位重量流体，取管道的1、2两截面为基准，则方程的形式成为：
　　　　　

式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
　　对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：
　　　　　

若为可逆绝热过程，方程可写为：
　　　　

式中γ为定压比热容cp和定容比热容cV之比，即比热容比，也称为绝热指数。
　　对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速ū表达动能项，应对其乘以动能校正系数 α。此外，还需考虑因粘性引起的流动阻力，即造成单位质量流体的机械能损失hf，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W，在这些条件下，若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：
　　　

α 值可由速度分布计算而得， 流体在圆管内作层流流动时 α=2；作湍流流动时， α≈1.06。
　　方程的应用 　伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如：
　　①计算流体从小孔流出的流速　设在容器中盛有液体，液面维持不变，距液面下h处的容器壁面上开有一小孔，液体在重力作用下自小孔流出。据伯努利方程可以计算出液体由小孔流出时的平均流速为：
　　　　　　　　

式中Cd为孔流系数，其值由实验确定，约为0.61～0.62；g为重力加速度。由上述速度及已知的小孔面积，可算出通过小孔的流量；或由这一关系，计算确定达到一定流量所必须维持的液面高度。若气体在一定压力差作用下由容器壁上的小孔流出，当速度不过大时，可视为不可压缩流体，其流量也可以利用伯努利方程来估计。
　　②毕托管　设均匀气流以等速uo绕过某物体流动，气流受阻后在物体前缘（A处）停滞，形成驻点（图1），

图1

该点处的压力称为驻点压力pA。若未受扰动的某点O压力为po，由伯努利方程可得
　　　　　　　　

测出pA与po的差值，即可算出流速uo。据此原理计设的测速装置，称测速器，又称毕托管。毕托管（图2）由一个圆头的双层套管组成，

图2

在圆头中心处开有与内套管相连的小孔，内套管与测压计的一头联接，以测定驻点压力pA；在外套管侧表面一定距离处，沿周向均匀地开一排与管壁垂直的静压孔，外套管与测压计的另一头相联，以测定压力po。根据测得的压力差h，可计算测点处的流速。
　　③文丘里管　又称文氏管(图3)，

图3

是一种先收缩而后逐渐扩大的管道。由于截面积有变化，流速改变，根据伯努利方程，压力也随之改变。量出管前与喉管处的压力差，即可推算流量。用于测量流量的文丘里管，称文丘里流量计。又由于文丘里管喉部形成高速气流，会产生负压而抽吸液体，使气液密切接触，用于完成气体的洗涤、冷却、吸收和反应等操作。用于这类操作的文丘里管称为文丘里洗涤器。  
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