因次分析dimensional analysis
方法基础 ①很多物理量都是有因次的,如速度的因次为(长度/时间),写作LT-1,密度的因次为(质量/长度3),写作ML-3等。若干物理量总能以适当的幂次组合构成无因次的数群,如在研究管内流动时,可将速度 u、管径d、流体密度ρ,流体粘度μ 四个量组成一个无因次数群udρ/μ,即雷诺数Re。②任何物理方程总是齐因次的,即相加或相减的各项都有相同的因次。因此原则上,经过适当的变换,物理方程总可以改写为无因次数群间关系的形式。
π定理 π定理是由任何物理方程都是齐因次的这一事实推出的。此定理指出:对一特定的物理现象,由因次分析得到无因次数群的数目,必等于该现象所涉及的物理量数目与该学科领域中基本因次数之差。例如,在研究流体在光滑水平直管中作定态流动的流动阻力时,根据对这一物理现象的了解,已经知道压力损失Δp与管径d、管长l、流速u、流体密度ρ、流体粘度μ有关,这种关系可用如下函数表示:
Δp=f(d,l,u,ρ,μ) (1)
该物理现象共涉及六个物理量。在力学中基本因次通常为长度、时间和质量,因而根据π定理可将式(1)变成三个无因次数群间的关系:(2)式中Δp/(ρu2)为欧拉数;l/d为简单几何数群。这样在实验研究中便不需要测定各个物理量之间的定量关系,而只需测定上述无因次数群间的函数关系。
方法特点 这种方法有两个优点:①变量数减少了,实验工作量可以减少;②由于只需逐次改变无因次数群的值,而不必逐个改变各物理量的值,实验工作可以大大简化。例如,在上述关于流动阻力的研究中,为改变雷诺数(duρ/μ)的值,原则上只需改变流速u,既不需改变管径d,也不需更换流体以改变流体性质ρ和μ,所得实验结果可同样有效地用于其他管径和其他流体。
与相似论相比,因次分析方法不需要先列出描述过程的微分方程式,只需事先确定有关物理量。因此,因次分析方法的应用范围较相似论广。但是因次分析方法并不能指出哪些物理量是有关的和必要的,若过多地引入了一些关系不大的物理量,常常会增加分析上的复杂性;若遗漏了实际上有关的物理量(特别是当过程涉及无因次的物理量时),则可能导致严重的失误。
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