Simulink环境下的Stewart平台的动力学仿真

第25卷第4期增刊仪器仪表学报2004年8月Simulink环境下的 Stewart平台的动力学仿真徐鹏王代华(重庆大学光电技术及系统教育部重点实验室重庆40004)摘要以经典的 Newton-Euler法建立的六自由度并联机构6-UPS( universal- prismatIc- spherical) Stewart平台的动力学模型为基础,详细介绍了使用仿真工具 Simulink按照并联设计思想设计的 Stewart平台动力学并行仿真方案,并给出了仿真结果。经初步分析表明仿真结果与实际情况的运动状态是吻合的。关键词 Stewart平台、动力学建模、创mm协真Dynamic Simulation of Stewart Platform in SimulinkXu p(Key Laboratory of Opto-electronic Technology and Systems of MOeChongging University, Chongqing, 400044, ChinaAbstract Based on the dynamic model of an 6-UPS (universal-prismatic-spherical)Stewart platform establishedusing Newton-Euler approach, the simulating scheme of the 6-UPS Stewart platform's dynamics in Simulink isproposed and developed according to the parallel design idea. also the simulation results are presented and analyzed, which shows that the simulation results are consistent with the practical motion situation of the 6-UPSStewart platformKey words Stewart platform Dynamic modeling Simulink simulation人(利用简化的模型首先建立了 Stewart平台的La-grangian方程;Ji专门研究了 Stewart平台支腿的惯量效果;Wang和 Gosselin利用虚功原理建立了Stewart平台是德国人 Stewart提出的一种六自 Stewart平台的反向动力学方程; Dasgupta和由度并联机构,由于它较串联机构具有高刚度、高精 Mruthyunjaya使用 Newton-Euler方程在考虑支腿度、负载能力强以及高灵敏度等优点,得到学术领域和和平台上所有约束力和外力或矩的影响下建立了应用领域的广泛关注。就学术领域而言, Stewart平台 Stewart平台最具一般性的闭环动力学方程的研究方向主要集中在运动学和动力学两大领域。在由于 Stewart平台的动力学模型对整个系统的重过去几十年中在运动学领域取得的理论成果颇丰;由要性,怎样通过仿真手段把复杂的模型清晰地表达出于并联机构的多体动力学问题的复杂性,因而在动力来并且具有很好的并行运算性能?这里以 Dasgupta学领域的研究文献相对较少。在2000年 Dasgupta发的建模思想为基础,详细介绍在 Simulink环境下,按表的综述性文章中列出的1998年之前的这方面的文照并联设计思想设计的 Stewart平台动力学并行仿真献不到10篇。早期在这方面研究的是 Fichter和方案,并给出了仿真结果。经过对仿真结果的初步分析Merlet等人,之后Do和Yang首先利用 Newton-表明直结果气定际情况的运动状态是吻合的,说明Euler方法在忽略连接铰摩擦以及支腿上的旋转惯量建立中国煤化工的的情况下推导出 Stewart平台的逆动力学方程;Liu等CNMHG全国优秀博士学位论文作者专项资金资助项目第4期增刊Simulink环境下的 Stewart平台的动力学仿真119在支腿和上下平台的连接点上。由文献[9]可知,采用2 Stewart平台机构及其动力学模型Newton-Euler法建立的 Stewart平台的动力学方程可表示如下:Stewart平台的原理是由 Stewart提出的作为飞行模拟器的一种机构,它由上下两个平台和6个可伸缩运动的支腿构成。根据支腿和上下平台连接方式m=HF+(1)XM的不同又出现多种类型 Stewart平台机构。其中最为典型和最为一般性的就是6-UPS( universal-prismatic式中:J=J+2J,=+∑nspherical)FA 6-SPS(spherical-prismatic-spherical)plMEMR种机构类型。上平台和支腿都采用球型铰连接,支腿上下部分通过滑动铰连接,前者的支腿和下平台通过方MR IM(RE, RRT)向结连接,而后者通过球型铰连接。这里阐述的动力学模型是以6- UPS Stewart平台,如图1所示。为研究对Lg QQ象,对于后者的动力学方程要额外考虑球型铰轴的旋M{c×(u×R)-g转力矩。×l+MRX{a×(a×R)-g采用 Newton- Euler法建立6- UPS Stewart平台动力学模型的大致思路是:假设要求的上平台的运动q1×V,一fH=[s(q×s)了,加速度和角加速度已知,通过旋转矩阵和坐标转换矩阵用任务空间状态来表示在固定坐标系中各矢量关F=lF, F2 F, F. Fs F]系;通过对支腿的运动学和动力学问题的分析,建立支g=Xp,R=XRo, ra=Trao腿的 Newton-Euler动力学方程,求出各个支腿对上平r=T(v+r)台的作用力,再分析上平台的动力学和动力学问题,把I=TlT支腿对平台的作用力带入到对上平台建立的 Newton. -TLL.m, L 'diag(00 1)]TEuler方程中,化简并最后得出整个平台的闭环动力2s· r, myra2+mL学方程L(sT '+r s)latform FrameU[m(s×r4)(s×r)2+mn(s×r)(s×r)-s(L4+L)s]U(s×U1-2LW),U:=U2×rd+W×(Wrd),W×(W×rn)+2LW/ Base francU=mr4×U3+mnrn×U4+W×(I4+I)W-(mr+mnrn)×g+CW+ff图1平台结构示意图图2 Stewart平台支腿示意图=C,(W-)图2表示了平台中各参考坐标系和基本矢量关V=(ms·U4+C.L+ms·g)s-s×U3系,在上下平台的几何中心O和O(参考图1)分别建以上各式中符号的物理意义见附录1和附录2。立固定在平台上的坐标系P(任务空间坐标系)和B由式(1)在已知平台受到的外力和外力矩的条件下,通(固定坐标系)。O在O.中的矢量为t,在坐标系P中过YHs中国煤化工任务空间状态;反之,从O到各支腿和上平台的连接点的矢量为p在坐标如果系B中从O到各支腿和下平台的连接点的矢量为b。动CAMH由式(1)求出相应的主可刀工态作为反馈信号通过另外,在每个支腿的上下部分(分别用下标u和d表示事先设计好的控制器来控制输出的主动力,得到期望上支腿和下支腿)都有一个本地坐标系L,坐标系固定的空间状态。仿真结果正是基于这一思想得出的120仪器仪表学报第25卷算模块也是同时独立运行的,最后输出的参数由式(1)3 Simulink仿真方案解出平台任务空间中的线性加速度和角加速度,分别通过一次积分和二次积分得到线性速度和角速度以及使用 Simulink6.0仿真环境,根据6- UPS Stewart位置和角度矢量。把数值积分得到的以上四个矢量作平台的动力学模型,按照并行设计的思想设计的为系统反馈送给支腿动力学模块、平台动力学模块和Stewart平台的动力学仿真方案如图3所示。在封装的控制器模块,循环运行就得到了整个时间轴上的任务Parallel-Six-Legs-Dyn模块中六个支腿的动力学求解空间状态。是同时独立运行的如图4所示,而支腿和上平台的运Integrator IntegratorParalle Six Legs DynProductIControllerOritentation图3平台的动力学仿真方框图MATLABMATLAB北FunctionSelectorLegs dynCMATLABMtaskJMATLABSelectorLego Dyn图4六支腿动力学并联仿真框图图5PD控制框图为了使系统很好地跟踪期望的任务空间状态在K,=[4×104×1054×105×105×1041×10°],仿真方案中设计了一个 PD Controller模块,如图5所K,=[1×101×102×101×101×1032×10°]示。其输入是任务空间状态和期望的任务空间状态,输出是各支腿上的主动力。PD控制器数学表达式如下4仿真结果及分析中国煤化工diag(K,(1 3))(ta-t)+diag(K, (1 t 3))(t-t)CNMHG的动力学模型和diag(K2(4:6))(-0)+diag(K,(4:6))(a-a)(2)sm提供的系数参数和式中K和K,是PD控制器比例增益系数和微分增益初始量运行仿真模块,仿真结果如图6和图7所示。在系数,且仿真过程中采用四阶龙格-库塔数值微分算法,仿真时第4期增刊Simulink环境下的 Stewart平台的动力学仿真间为0.1s,最小步长为0.001s。另外,由于重力对系统定角度,再反向回到初始角度,同时绕x轴和y轴旋的动力学特性有着非常明显的影响,并且有可能使数转一定角度并且方向相反,再反向回到初始角度。这与值运算发生奇异。因此,仿真结果是在平衡了重力的情六自由度平台的真实运动过程是吻合的。图7同样表况下得到的数值结果明各支腿在0.014s的时间内逐渐趋向于期望空间状从仿真结果中可以看出,在经过大概0.01s的时态相对应的驱动空间状态,从图中也能清楚地看到在间平台运动到期望的结果。从图6中更清楚地反映了达到稳定状态之前有一个峰值,这也正好与任务空间平台从较低的位置运动到较高的位置的全过程:上平状态到达期望状态前所做的运动相对应。台在z轴方向上一直上升,而x轴和y轴方向上先做由于篇幅限制,本文省略了任务空间状态上平台偏离初始位置的正向运动,待回到初始位置的时候,再的线性速度和加速度、角速度和角加速度以及执行空做反向偏离运动,最后再回到初始位置,而且x轴和y间状态的支腿速度和角速度的仿真结果轴方向的运动是相反的;角度的运动是先绕z轴旋转a 620.10010.598a576090.050.050,100.050.10010(a)支腿1(b)支腿2(c)支腿3x10 Theta200.6550.654405。060:60.050.1(d)支腿4(e)支腿5(f)支腿6图6 Stewart平台任务空间状态仿真结果图7 Stewart平台驱动空间状态仿真结果Proc. Inst. Mech Eng, 1965, 180: 371-386.5结论2 B Dasgupta, T S. Mruthyunjaya. The Stewart platformmanipulator: a review Mechanism and Machine TheoryNewton- Euler法作为解决刚体动力学的经典方2000,135:15~40.法,由于具有直观性强和物理概念清晰等特点,也是解3E.F. Fichter, A Stewart platform-based manipulator决并联多体动力学问题的主要手段之一。由于并联多general theory and practical construction. Int. J.体系统动力学问题自身的复杂性,充分利用计算机仿Robotics res.,1986,5(2):157~182真的手段,尤其使用具有对矩阵运算比较有优势的4 J. P. Merlet Parallel manipulators, Part I: Theory, deMatlab/ Simulink作为仿真工具是解决这类复杂问题 gn, kinematics,dynamics and contro. Technical Report的重要手段。在经典的六自由度并联机构6-UPSt 646 INRIA, France, 1987.Stewart平台的 Newton- Euler模型的基础上使用仿真5W.Q.D.Do,D.c.H.Yang. Inverse dynamic analysis工具 Simulink按照并联设计思想设计了 Stewart平台and simulation of a platform type of robot J. of Robotic动力学仿真方案,对仿真结果的初步分析也表明设计Systems,1988.5(3):209~227中国煤化工wis, Kinematic analysis的仿真方案是正确的。CNMH GOr IEEE Tran. on In参考文献dustrial Electronics, 1993, 40(2): 282-293.7 Z Ji. Study on effect of leg inertia in Stewart platform1 D. Stewart. A Platform with Six Degrees of FreedomIEEE Proc. of Int. Conf. on Robotics and Automation122仪器仪表学报第25卷1993,121~1R=[0.040.03-0.06]8J.wang,C.M. Gosselin. A new approach for the dy-万向节、圆柱铰、和球铰的粘滞阻尼系数:namic analysis of parallel manipulators. Multibody SysnamIcs万向节固定轴的单位矢量:9 B Dasgupta, T S. Mruthyunjaya Closed-form dynamic0.81410.23080.9535quations of the general Stewart platform through NewK=0.27140.92310.2860ton-Euler approach Mech Mach. Theory, 1998, 33(7):0.00000.30770.09530.00000.0000993~1012.支腿和上下平台的铰点分别为:30.30.0-0.2-0.150.15附录1=0.00.20.30.1-0.2-0.15t、、t上平台位置矢量、速度矢量、加速度矢量0.10.00.0-0.1-0.05-0.05上平台的旋转方向矢量、角速度矢量、角加速0.60.1-0.3-0.30.2度矢量;b=0.20.50.3-0.4-0.3-0.2W—支腿的转动角速度矢量L、L—支腿的长度、支腿的线性速度;上下支腿的质量:m=5.0,m4=3.0,X—任务空间坐标系到固定坐标系的旋转矩阵;上平台的质量:M=40.0T—支腿本地坐标系在固定坐标系的转换矩阵,由s上下支腿的重心位置和k决定;r=[-0.6-0.080.08s—支腿的单位矢量;rdo=[0.40.14-0.18];g-重力加速度矢量;上下支腿的惯量:F—支腿上的主动力;0.0050.0020.002Fx、Mx-上平台在任务空间坐标系中受到的外力L=|0.0020.0020.001和外力矩;0020.0010.0~—表示矢量叉乘转换为矩阵乘积的运算。0100.0050附录20.0050.0020.003任务空间初始状态和期望状态分别如下:0070.0030.001to=[0.1395]上平台和支腿的惯量e=[00-0.2]radta=[0.100.4]ml=|0.0030.0400.0034=[00-0.2]rad;0040.0030.100平台和负载的重心位置一·“(上接第115页)间的相对误差均方根RMS值是随模态阶次的增高而2Z.Y.Shi,S.S.Law,L.M. Zhang, Damage localization增大的,在前5阶的相对误差均方根值在5%~6%之by directly using incomplete mode shapes. Journal of内。该结果表明可以用MSC/ Patran( Nastran)对拱结Engineering Mechanics, 2000, 126(6): 656--660构进行动态模拟并可计算得出误差较小的前5~6阶3A. Rytter,M. Krawczuk,P.H. Kirkegaard. experI-模态。mental and numerical study of damaged cantileverJournal of Engineering Mechanics, 2000, 126(1): 60-参考文献651李国豪.桥梁结构稳定与振动.北京:中国铁道出版社,1992H中国煤化工实验修正结构有限元分CNMHG