铰接桁架结构动力学问题研究

第33卷第5期宇航学报Vol 33 No 52012年5月Journal of AstronauticsMay 2012铰接桁架结构动力学问题研究李凤明,吴志静',刘荣强2(1.哈尔滨工业大学航天学院137信箱,哈尔滨150001;2.哈尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨15001)搞要:以铰接桁架结构为对象采用谱元法研究铰对桁架结构动力学行为的影响,拓展了谱元法的应用领域。在频域下将铰结构考虑为一个谱单元,分别建立铰、杆和梁单元的动力学刚度矩阵,并加以整合得到整体结构的动力学刚度阵,进而建立整体结构的动力学方程。通过求解整体结构的动力学方程,获得结构的固有频率、频响曲线和时间响应历程曲线并将谱元法的计算结果同有限元法的相应结果进行了比较。分析结果表明谱元法在求解铰接桁架结构的动力学问题上具有较高的精确性,并且铰的存在对桁架绪构动力学行为具有显著影响关镛词:桁架结构;铰;谱元法;动力学;时域响应中图分类号:0327文献标识码:A文章编号:10001328(2012)05055606DOI:10.3873/jis10001328.2012.05.005Study on the Dynamics Problems of Truss Structure with JointsLI Feng-ming, WU Zhi-jing, LIU Rong-qiang(1. P.O. Box 137, School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001. China:2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, ChinaAbstract: In this paper, theics problems of truss structure with joints are researched by using the spectralement method (SEM), and effects of joints on the dynamics behavior of the truss structure are analyzed, thus expandingapplication fields of the SEM. The joint structure is considered as a spectral element in the frequency domain, Thedynamics stiffness matrices of the joint, rod and beam elements are established respectively. The dymamics stiffness matrixof the whole structure is obtained by integrating the dynamics stiffness matrices of the joint, rod and beam elements, andthe dynamics equation of the whole structure is further established. The natural frequencies, frequency response curves andtime domain responses of the structure are obtained by the calculation of the dynamics equation of the whole structure. Theresults calculated by the SEM are compared with the comesponding results obtained by the finite element method. From thenumerical results, it is seen that the dynamics problems of truss structure with joints can be accurately solved by the SEMand the joints have obvious influence on the dynamics behaviors of the truse structure.Key words: Truss structure; Joint; Spectral element method; Dynamics; Time domain response这使得结构的单元数大大减少。 Doyle将这种频域0引言内建模的方法称为谱元法,目前,谱元法已经得谱元法通常基于波动方程的解建立插值函数,到越来越多力学工作者的关注。谱元法因其采由这个与频率相关的插值函数得到的解在频域上精与频率有关的插值函数、与有限元法相结合、对复确满足运动方程-2),因此谱元法对结构动力学方杂边界具有广泛的适应性以及谱方法的快速收敛性程的求解要比有限元法精确得多,尤其在高频区域等优点具有重应用价值优势更加明显3。另外对于几何形状和材料性质中国煤化工展结构中1),因致的结构部分,谱元法可以将其考虑为一个单元,为CNMHG传统的有限元法收稿日期:2010803;修回日期:0203-22基金项目:国家自然科学基金项目(50935002,2084)第5期李风明等:较接桁架结构动力学问题研究求解大型空间结构时需要大量的存储空间和计算A f(时间。尽管可以通过增加单元个数改进结果的准确性,但是增加离散化单元个数不一定能保证对结果有所改进,因为结果的准确性还取决于结构和数值模型对误差敏感性的大小。对于这种单元和节点的数目很多、要求得到高频响应的结构,应该考虑其它更适合的方法,而谱元法可满足这些要求。铰是桁图1含铰连接的桁架结构架结构中连接两个或多个部件的必要成分,铰结构Fig. 1 The truss structure with joints模型对整体结构的动力学特性有很大影响。游斌弟1.1杆结构模型等研究了铰间隙对星载天线动力学特性的影响。已知杆的运动方程为igawa等采用谱元法研究了刚架结构中的弹性波传播特性,计算了结构的受迫振动时间响应历程,但是PA92-EA(1)在他们的分析中未考虑铰结构的影响,他们把各杆其中a表示杆的纵向位移,pA和E分别代表杆的件之间看作刚性连接"。Le釆用谱元法计算了螺密度、横截面积和弹性模量。u可以写成谱表达形式栓连接杆结构的动力学特性他将螺栓连接部件模如下1拟为剪切和扭转弹簧。目前为止,还未见有采用n(x,1)=∑Ua(x,0)e(2)谱元法研究铰接桁架结构动力学问题的研究成果发表。其中ωn为圆频率,UB2(x,n)为纵向位移的谱分本文以铰接桁架结构为研究对象,采用等效弹量。将式(2)代入式(1),得到簧等效质量模型建立了铰结构的动力学模型,采用U(x,an)=A1e“+Ae“)(3)谱元法对整体桁架结构进行了分析求解,得到了结k。=a,√pE构的时间响应历程曲线,分析了铰对桁架结构动力其中A1和A4为与频率有关的系数。为书写方便略学特性的影响。去上式中的下标nUn(x,)=A1e+Ae“”)(5)1结构运动方程将节点处的位移代入上式,得到系数与节点位研究图1所示铰接桁架结构动力学问题。该桁移之间的关系如下:架结构包含两个“区”型子结构,两个子结构由铰连A =KU(6)接。外力作用于图中A点,计算在外力作用下A点的式中A=1A1,A4,U={Cm,Ua为杆单元响应。的两个节点位移组成的列向量系数矩阵K表示为结构在运动过程中,铭的运动删之间的相互摩x,=a-2a[刚度。所以本文所研究的桁架结构中的杆件并非绕将式(6)代人式(5),得到连接点做自由转动,杆件结构也不再是单独地承受UR(r, o)=Nr(x w)Ug+NR(x,o)UR(7)拉压弯曲载荷而是以它们共同作用来工作。每个其中Nn(x,a)nk(L-x)和Na(xa)=m杆件单元的谱刚度阵由考虑纵向运动的杆单元谱刚表示与频率有关的形函数。度阵和考虑横向运动的梁单元谱刚度阵叠加获得。将轴力F(x,t)写成谱表达式研充中将各个杆件和铰分别看作一个单元,分别建中国煤化工,)e立各个杆件的杆和梁单元谱刚度阵,以及铰单元的CNMHG谱刚度阵,并将它们组装成整体结构的动力学谐刚已度阵。558宇航学报第33卷由式(7)、(8)、(9得到频域上节点力与节点位移关y =[-cos( kL)+cosh(kL)I( L)系为/[1-cos( AL)cosh(kL)]S(oUr =Fa=[sin(kL)+sinh(kL)](kL)式中F={F1,F2}为杆单元的两个节点力组成/[1-cos(kL)cosh(kL)]的列向量,S(a)即为杆单元的动力学单元刚度矩B=[-sin(kL)+sinh(KL)J L阵,其表示为/[1-cos(kL)cosh(kL)]SR(a)=EA kL-coskLy =[sin(kL)sinh(kL)J(kL)/[1-cos(kL)cosh(LL)]从上式可见单元刚度矩阵是与频率有关的实矩阵。可见上式为对称矩阵,与有限元方法不同的是,矩阵2梁结构模型中每一项都与频率有关,这正是谱元法具有高精度已知梁的运动方程为的关键。El-=0(12)1.3铰结构模型铰结构的力学模型如图2所示,其中包括弹簧将位移写成谱表达式和惯性系统。弹簧系统包括刚度为k,和k的拉叭(x,t)=∑(x,0n)e“(13)压剪切和扭转弹簧惯性系统包括集中质量m和将式(13)代入(12)中,并略去下标n得到惯性矩L用三个节点LJ和R将铰模型分为弹簧和(x,u)=A2e“+A」e惯性系统两部分,如图2所示。A,e献-)+Ae--)其中k=√A2A3A3和A6为与频率有关的系数。上式中第一项与第三项表示行波解,第一项表示沿x正方向传播的波第三项表示沿x负方向传播的波;第二项和第四项表示空间衰减振动。利用图2铰结构力学模型示意图与杆单元相同的推导过程,可得梁单元节点位移和Fig. 2 The schematic diagram of the mechanics model节点力之间的关系S,(o)UR= Fe(15)在频域下,对于弹簧系统有如下力学关系:式中Um={n,B,n,b2为节点位移组成的列向量2:=BQ(17)其中和n为节点的线位移,B和码2为节点的角位式中Q2=[1,F4,n,v,b,M和Q=[,F,移F。={V1,M1,V2,M2!为节点力组成的列向量,v,V,,MJ,其中正、F1、山和F分别为频域下其中V和V为横向节点力M和M2为节点力偶;LJ节点处的拉压位移和内力;同理,、V、62和MS(a)为梁单元的动力学刚度矩阵,其表示为分别为对应L节点的横向位移、剪力、转角和弯矩,LyLy、V、0和M分别为对应J节点的橫向位移剪力、S2(u)=/(6)转角和弯矩系数矩阵B中的元素为:Ly L'B1,2,…,6),B2=/k,Bx=1/k,B%=1/k,B对称矩阵中的其它元素为零。其中在频域下,对于惯性系统有如下力学关系:a=[cos( kl)sinh (kL)+ sin(kL)cosh (kL)I( L)V凵中国煤化工(18)/[1-cos(kL)cosh (hL)],其CNMHG和R分别对应JB=[-cos(kL)sinh(kL)+ sin( kL)cosh (kL)JIL和R节点;其中系数矩阵D中的元素为:/[1-cos(kL)cosh(kL)]D1=D3=Ds=1第5期李风明等:铰接桁架结构动力学问题研究D=Du DD矩阵中其他元素为零;为外激励的频率=0.2kg,J=2x107m2激励力为指数衰减函数整合式(17)和(18),可得到频域下铰结构左端f(t)=Fe,其中F=5kN,a=200作用在图1中到右端的传递矩阵所示位置,外力f(t)随时间变化曲线如图3所示。QL = ceR(19)式中:C11-md21-Lo'/k. cn Cu= c1/kC21=Ca=-m2,Cs=-la2,矩阵C中的其它元素为零。0020040.060.080.1对上式进行变形,得到铰模型的节点力与节点位移关系式如下图3激励力随时间变化曲线S,w)UFig 3 Variation of the extemal force vs the time式中U={,2,,,,0n1和P=|F2,V采用谱元法求解式(21)时将图1所示的桁架结M1,FmF2,Mm'分别表示铰单元的位移矩阵和力构在频域内划分为14个单元其中包括8个杆-粱矩阵;S(a)为铰的动力学刚度矩阵单元和6个铰单元。通过求解式(21),得到桁架结构上A点的纵向位移-频率曲线,如图4所示。图4中极大值点对应的横坐标即为结构的固有频率将结S33=-Sp=-SB=ke, p= kg-yo构的前7阶固有频率列在表1中。为了与有限元法系数矩阵S()中的其它元素为零可见S(a)为作比较还采用有限元法计算了图1桁架结构各阶固有频率,计算结果也列在表1中。通过将谱元法与有1.4整体结构的运动方程限元法计算的结果进行比较可见,在有限元法中单元针对图1所示的桁架结构,建立了各个杆梁和数取得越多,计算结果越接近谱元法计算的结果说铰单元的动力学刚度矩阵后,采用与有限元法相同明谱元法计算的固有频率是准确的。的整合方式(这部分内容可参见有限元法相关内容),可得整体结构的动力学刚度阵,进而得到整体桁架结构的节点力与节点位移关系为S(a)U=P(21)旦续型促委式中S(a)为整体结构的动力学刚度阵,U和P分别为整体结构的节点位移和节点力列向量。式(21)为线性方程组,其中的刚度阵S(ω)为00150200250300顷率/(rads)已知,节点力列向量P可以通过作用的外力来确定,图4桁架结构A点的频响曲线未知量为节点位移,求解式(21)可得到频域内的各Fig 4 The frequency response curve of the truss structure节点位移,对频域内节点位移进行逆FFT变换,即可得到对应节点的时域动力学响应。对频域内A点位移进行逆FFT变换,即可得到算例该中国煤化工中实线为果用14对于如图1所示的桁架结构,其结构和材料参个CNMHG采用38个单元的数为:L=1m,中=m/4,圆形截面半径R=0.05m,有限元禾,光例丑出线基本吻合。E=206×10Wm2p=7800gym3,k=960宇航学报第33卷表1有限元法与谐元法计算的固有频率(rd/s)比较Table 1 Comparison of the natural frequencies(rad/s)computed by the FEM and SEM模态数有限元法谱元法4单元30单元38单元14单元旦缺名一49,87112.26111.94l1l.90118.90118.9000020040.06348.85276.65276.35276.14图7结构上A点横向位移随时间变化曲线415.37286.62Fig. 7 Variation of the transverse displepoint A vs the time刚架谱元法有限元法0010.020030040.05000.04图5桁架结构A点的时域响应Fig 5 Time domain response of the truss structure图8结构上A点转角随时间变化曲线ig.8 Variation of the rotational angle of point A3结论本文针对铰接桁架结构采用谱元法建立了杆、梁和铰的动力学刚度矩阵,将铰结构考虑成弹簧和惯性系统,采用有限元法思想将各单元的刚度矩阵0040.06008整合为整体结构的动力学刚度阵,在此基础上建立整体结构的动力学方程。求解整体结构的运动方图6结构上A点纵向位移随时间变化曲线程得到结构的固有频率频域响应和时域响应,并Fig 6 Variation of the longitudinal displacement of将谱元法计算结果与有限元法计算结果进行了比point A vs the time较。通过分析可见:采用谱元法可以求解铰接桁架为了分析铰对结构动力学特性的影响,在计算结构的动力学同题,并且具有很高的精确性,谱元法点响应时分刚架(不考虑铰的影响)和桁架(考的应用领域得到拓展;与不含铰的刚架结构相比含虑铰的影响)两种情况图6-图8分别计算了A点铰的桁架结构振动幅值增大,因此实际应用中铰的纵向横向位移和转角随时间的变化曲线。从这几幅动力学特性不能忽略。图中可以看出,含铰桁架结构中A点振幅比不含铰中国煤化工结构的刚架结构的振幅大这说明铰的存在使得桁1N MHGctures架结构的柔性变大。因此,对空间展开桁架结构进fast discrete Fourier transforms[ M]. 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