Engel定理及其应用

第41卷第4期东北师大学报(自然科学版)VoL. 41 No. 42009年12月Journal of Northeast Normal University(Natural Science Edition)December 2009[文章编号]10001832(2009)04-000504Engel定理及其应用吴险峰',陈良云2(1.齐齐哈尔大学数学系,黑龙江齐齐哈尔1612.东北师范大学数学与统计学院,吉林长春130024)摘要]给出了李超代数 Engel定理的一种证明,运用Enge定理, Fitting分解及 Frattini理论等得到了幂零李超代数的5个充分必要条件[关键词]幂零李超代数; Engel定理; Fitting分解; Frattini理论[中图分类号]O152.5[学科代码]110·21[文献标识码]A1预备知识955年,A. Nijenhuis给出了李超代数的一个例子.20世纪70年代,物理学为了建立相对论的费米子与波色子的统一理论,由Wess和 Union提出了超对称性,将普通的时间空间的 Poincare李代数扩充为超 Poincare代数,从此开始了对李超代数的研究.李超代数的研究成果不仅促进了物理学的发展,在数学上亦与组合数学、顶点算子代数、微分方程、微分流形、拓扑学等重要的数学分支有着广泛而深刻的联系,因此近年来关于李超代数的研究十分活跃,从基域的角度,李超代数可分为非模李超代数即特征零域上的李超代数)与模李超代数(即素特征域上的李超代数).30年前,著名数学家V.G.Kac完成了有限维单的非模李超代数的分类.1988年,Kac又完成了无限维单的线性紧致李超代数的分类经过多名数学家与物理学家的研究工作,非模李超代数的研究已经取得了相当丰富的成果,形成了系统的理论李超代数L=L。⊕L1又称为Z2一阶化李代数,L是L。-模.L。是通常的李代数.李超代数作为李代数的推广,其与李代数的许多性质不同.例如:李代数的Le定理与Lev定理在李超代数中不成立;半单李代数可以分解成单李代数的直和,但这个结论对李超代数绝对不成立;李超代数的 Killing型未必非退化;可解李超代数的不可约表示未必是一维的等等定义1.1若L=L。L1,[a,b]∈L+,va∈L,b∈La,B∈Z2={0,1},则L称为超代数若L=L⊕L1还满足下面条件则称为李超代数:(1)[a,b1=-(-1)甲[b,a];(2)[a[b,c]=[a,b],c]+(-1)[b,a,c],va∈L,b∈L,c∈L;a,B∈Z2={0,1}定义1.2若L=LL1是李超代数,L)=L与L=[L,L].若存在k∈N满足L=0},则称L为可解李超代数定义1.3设L=L。团L1是李超代数,L=L,L+1=[L,L].若存在k∈N满足L={0},则称L为幂零李超代数引理1.1设A=AA1是结合李超代数则:(1)(adx)*(y)=∑(-1)*Cxyx,Vx∈A。,Vy∈中国煤化工(2)(ad2)-(y)=20(-1)Cir"yr", VrEA,, vyCNMHG收稿日期]200806-27基金项目]国家自然科学基金资助项目(10701019,10871057);黑龙江省教育厅科学技术研究项目(11541366)[作者简介]吴险峰(1970-),女,硕土,副教授,主要从事李超代数研究;通讯作者陈良云(1972-),博土副教授,主要从事李超代数研究东北师大学报(自然科学版)第41卷(3)(adx)2(y)=∑(-1)C"2xyx2--,x∈A,Hy∈A这里,=(1+i)(1+B)+(k-1)+i(i-1)/2,[i/2]是i/2的整数部分本文假设L是任意特征域F上的有限维李超代数,它的理想是阶化的.设P(v)是线性李超代数有关李超代数的知识可以参考文献[2-18]Engel定理在李代数、 Novikov代数是成立的,但对李三系来说现在人们已证明对特征为零的代数闭域是成立的,对一般的李三系 Engel定理是否成立还未证明本文给出了李超代数 Engel定理的一种证明,运用 Engel定理、 Fitting分解及 frattini理论等得到了幂零李超代数的5个充分必要条件2主要结果引理2.1设V是域F上的有限维Z2阶化向量空间且X是作用在V上的幂零Z2线性变换.若X=0且adX是Pl(v)上的线性变换:Y→adX(Y)=[X,Y],Y∈Pl(v)则adX是幂零的证明由引理1.1和X=0知:(adX)2(Y)=0,vY∈Pl(V).因此(adX)=0,即adX幂零定理2.1设V≠{0}是域F上的有限维Z2阶化向量空间且L是Pl(V)的阶化子代数若L的每个元素是幂零的,则V中存在一个非零元素x满足X(x)=0,YX∈L.证明设L的维数为r,对L的维数用数学归纳法若dimL=0,则显然.现在假设定理对维数小于r的所有李超代数都成立,我们将证明定理对维数等于r的所有李超代数也成立首先,我们将证明L包含有一个维数为r-1的理想H.设H是L的一个维数为m(m