分形理论

第8卷第5期2006年9月须面牌Sept. 2006分形理论王启文(呼伦贝尔学院物理系,内蒙古海拉尔区021008)摘要:本文介绍分形理论的产生与发展现状,让初学者了解这一非线性科学中的又一角色在我们认识复杂世界的思维过程中的重要性,让我们再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到贯穿各个领域的非线性科学的研究中。关键词:分形;混沌;分维;非线性中图分类号:O4155文献标识码:A文章编号:1671-9972(2006)05-005404大家知道,以经典欧几里德几何为基础的传统数我们周围的许多不规则和支离破碎的形状,并通过鉴别学,研究的都是一些简单化、规则化、模型化的东西。出一族我称为分形的形状,创立了相当成熟的理论。”但是,奧妙、神奇的大自然展现给我们的往往都是复杂且具有不规则几何形态的物质世界,展示给我们的是奇妙的分形。如:图-1和图-2中的分形和混沌勾勒出了丰富多彩的真实世界。l2在非线性科学中,分形与混沌有着不同的起源,但它们又都是非线性方程所描述的非平衡的过程和结果正如分形理论的创立者芒德布罗(B. B Mandelbrot)在他的名著《大自然的分形几何学》中开始就说:“为什图-1蕨类植物的叶么几何学常常被说成是‘冷酷无情’、‘枯燥乏味’的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并不光滑、闪电更不是沿着直线传播的.。这些图形的存在,激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在边、被认为是‘无形状可言’的形状,去研究‘无定形’的形态学。然而数学家们蔑视这种挑战,他们越来越多地选择了、想出了种种与我们看得见或感觉得到的图-2科赫雪花任何东西都无关的理论来逃避大自然。作为这个挑战的回答,我构思和发展了大自然的一种新的几何学一分1.分形理论的产生与发展形几何学。并在许多不同领域中找到了用途。它描述了分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支,它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不收稿日期:20060721责任编辑:王婷婷光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础是分作者简介:王启文(1963-),男,蒙古族,呼伦贝尔学院物理系副形几何。教授,主要从事大学物理的教学、统计物理及非线性混沌分形理论的基本思想起源于20世纪初、发展于20理论的研究世纪60年代后。创立分形理论的代表人物为美国数学家、美国科学院院士芒德布罗(B.B. Mandelbrot)。1960的等边三角形并挖去中间的一个,如此分下去,最后所年,芒德布罗到哈佛大学去讲课,发现自己硏究的经济得到的图案便构成一个无穷层次的自相似结构,称为席模式中高低收入的分布图与利塔沃经济中心大厦黑板尔宾斯基垫片或箭头图案。上的棉花价格变动图是一样的,他不无怨气地开玩笑说:“我的图怎么能在做报告前就画出来了呢?”,之后,他转向为分析棉价变化。他采用一种特殊的变换尺度的方式考察棉价变化的内在序列,惊人地发现了:尽管棉价的每一次变好是随机的,但价格的日变化和月变化的曲线竟然完全一致!这就是说,在大量的无序的数据里存在着一种出乎意料的有序。图-4席尔宾斯基垫片芒德布罗又从“英国的海岸线有多长”的问题着手进行研究,提出了一个惊人的论点:任何一段海岸线都2.3.席尔宾斯基地毯( Sierpinski carpet);:如图5是无限长的。虽然一条曲折的海岸线不能精确测量,但个正方形,等分为9个小正方形并挖去中间的一个,把它却有某种特征量,就是分形所揭示的分数维数,可以剩下的八个又这么处理,如此做下去,最后得到一个无对分形对象内部的不均匀性、层次结构性的整体数量特穷层次的自相似结构,称为席尔宾斯基地毯。征进行刻画。分形的意义在于摸索自相似,自相似是跨越不同尺度的对称性,图案之中套图案。1975年,芒德布罗用“分形”一词囊括了其思想,相继出版了杰作《分形对象——形、机遇和维数》、《分形——形、机遇和维数》、《大自然的分形几何学》三本专著。在这些专著中,第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。这些专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生。图-5席尔宾斯基地毯1998年,研究几何与混沌的麦克·马伦获菲尔兹奖再一次说明了混沌、分形理论在科学研究领域的地位以上是人为的理想的自相似结构,在真实的宏观世界中也能看到各种自相似结构。当然物体总是不可避免地受到环境的各种随机的作用,这就使得所形成的自相似结构不可能是严格规则的,只是大体上或统计意义上的自相似,这种分形称为统计分形或无规分形。3453.分形与混沌的关系20世纪70年代,混沌和分形都处在草创阶段,两图-3康托尔集者表现得风马牛不相及。当时,混沌理论只为少数专家学者所知,可混沌不是完全无序,它包含着丰富的内部2.几种理想的规则分形结构,可以出现所谓的奇怪吸引子,它有无穷层次的自2.1.康托尔集( Cantor set):如图-3,这是康托尔于相似结构。因此,混沌与分形应该说有很深的内在联系。1883年首先提出来的一种一维空间中的自相似结构,取芒德布罗的理论并没有提及混沌动力学本身,但这些著一直线段(0,1),把它分为3等分,然后去掉当中一作中包含许多与混沌直接相关联的论题,如流体湍流和段,对留下的每一段又三等分并去掉其中间一段,如此宇宙的大标度结构。或许最基本的分形结构就是奇怪吸不断地做下去,留下的所有线段就构成了所谓的康托尔引子所显露的客体,所以现在习惯把奇怪吸引子定义成集。显然康托尔集构成了一个无穷层次的自相似结构分形吸引子。于是 Hausdorff发明的分维被芒德布罗发2.2.席尔宾斯基垫片( Sierpinski gasket):如图-4,取现并利用,成为描述吸引子结构的一个定量特征参数。一个等边三角形,将其分割为4个大小相等的等边三角因而如今在科学中分形以两种不同的方式出现:作为研形并挖去其中间的一个,对剩下的三个又各分为4个小究不规则过程和形式的一种描述性工具;作为内在混沌动态的一种数学推论数系统( Iterated Function System,简称IFS)出发,可混沌表示的不是无序和混乱,而是某种不规则性定义(随机)移位动力系统,而移位动力系统正是一个更像是没有周期性的次序。因此,混沌和分形是数学兄混沌动力系统。所以,如果把混沌广义地看作是具有自弟,它们都与不规则结构斗争得难解难分。在它们中间,相似的随机过程和结构,则分形也可看作为一种空间混几何想象至关重要,混沌运动的高度无序和混乱性反映沌。反之,混沌运动具有在时间标度上的无规自相似性在分形的无穷复杂性上。奇怪吸引子是混沌运动轨迹经它也可以看作是时间上的分形。即分形是空间上的混过长时间之后所形成的终极形态,没有明显规则和次沌,而混沌是时间上的分形序,由许多回转曲线构成,不同层次间存在自相似性,所以,分形是描述混沌运动的一种几何语言。不过几何4.分形维数学在混沌中附属于动力学而在分形里则居统治地位。如维数是空间和客体(集合)的重要几何特征量。如:果说分形几何为吸引子的内部结构提供了一个很实用相空间的维数就是描述动力系统运动所需要的变量个的语言,那么,混沌运动则被认为是产生分形结构的根数或自由度数。而在吸引子中,维数则说明了该吸引子源之一。所以混沌和分形有着密切的联系。中点的密集程度或刻画它所必需的信息量。芒德布罗推在非线性科学中,混沌和分形有着不同的起源,但广了维数概念、得到了分形维数简称分维( fractal它们又都是非线性方程所描述的非平衡过程和结果,这 dimension),其定义有多种,现简介如下:表明它们有着共同的数学祖先—动力系统。4.1.拓扑维数分形起源于对不规则集合的研究(如:弯弯曲曲的在经典几何学中,维数是形体的一个重要特征量,海岸线、凸凹不平的路面等自然物的表面几何形状,数即为了确定几何形体的每一个点在空间中的位置所需学中处处连续而不可微的函数等“逻辑怪物”或“病态”要的独立坐标的数目。在平直的欧氏空间里,形体的维函数,这些都属于不规则点集);混沌则起源于对非线数是显然的:点是零维的;线是一维的;面是二维的;性动力学的研究,即混沌是研究非线性确定性方程所具体是三维的。对点、线、面、体这样的几何形体在连续有的内在随机性在时间上的非周期过程。简单地说,分拉伸、压缩、扭曲等形变下,其对应的维数是不变的、形来自于对几何学的研究,而混沌则产生于对物理学的是正整数,我们称此维数为拓扑维数。研究4.2.豪斯多夫维数它们又具有类似性。混沌主要研究非线性动力学系测量一个几何形体大小所得到的数值N与形体维统的不稳定的发散过程,但系统状态在相空间中总是收数(拓扑维数)和测量的标度(长度单位)1有密切关敛于一定的吸引子,这与分形的形成过程十分相似。因mN(2,若1足够小,则上式与此,若说混沌主要研究非线性系统状态在时间上演化过程的行为特征,那么分形则主要研究吸引子在空间上的无关。这对任何大小和形状的几何体都成立。对通常的结构。混沌运动的随机性与初始条件无关;而分形结构几何体而言,d是整数。1919年,德国数学家豪斯多夫的具体形式或其无规则性却与初始条件有着密切的关( FHausdorff)认为,可以把上式推广到维数,则d不系。混沌吸引子与分形都具有自相似性,所以二者是从一定取整数。人们便将此定义的维数d称为豪斯多夫不同侧面来研究同一个问题的。维数( Hausdorff dimension),并记作dn,即从理论上说,动力系统既与混沌存在着一定的关In N(l)系,又与分形有着密切的联系。动力学与混沌的关系是动力系统存在混沌必须满足三个条件,即对初始条件的4.3.容量维数敏感依赖性、具有拓扑传递兴致、周期点的稠密性。这豪斯多夫维数的式子是以被测几何体的容量大小三个条件正对应着产生混沌现象的三个条件,即不可预进行分析计算的,因此通常叫做容量维数( capacity测性、不可分解性及有一定的规律成分。对初始条件的 dimension),可记作d,又称盒维数( box dimension敏感依赖性在动力系统中表现为其长期行为的不可预或 boxcounting dimension),记作db测性;拓扑传递性表明,动力系统不可能被分解成两个4.4.相似维数( similarity dimension)或几个互不影响的子系统;周期点的稠密性表明,动力设几何体的体积压缩比为k,线度压缩比为λ,几何系统产生的混沌并非完全无序,而是有一定的规律成体的维数为d,则它们之间的关系是分。动力系统与分形的关系在于:从生成分形的迭代函将这一概念推广应用于分形,由于分形的自相似的山脉、蜿蜒曲折的江河、弯弯曲曲的海岸线、天空中性,线度变小(缩小)仍将得到与原分形体相似的子集。变化无穷的积云、漫天飞舞的雪花、郁郁葱葱的森林、设此分形体是由k个与之相似的不相交子集所组成,于材料无规则的裂纹等等,这些都是变化无穷的曲线。虽是推广上式可得然它们处处连续,但并不处处可微,显然传统的数学已经无法用来描述它们。因此,这类几何客体往往被排斥在研究对象之外,并称之为“病态”客体,从而使经典d3是与此分形体的结构有关并有维数特征的特征量,数学陷入了危机,于是分形几何便应运而生。分形概念称为相似维数。产生后,许多自然界中的复杂现象及问题得到了很好的除了以上维数外,还有标度关系、多重分形等关于解释。如用分形理论研究湍流和相变、研究中医病理、分形结构的描述。在此就不再一一讲述。6n研究癌变机制、研究地震预报、硏究高分子凝胶等等,对此,传统理论一直感到困惑,但有了分形理论后,这5.分形研究的意义些问题便有望得到解决。特别是越混乱、越无规则、越现在,分形理论已应用到了各个领域,人们已提出复杂的领域,分形理论越能显示出其有效性,因此有人了自然分形、时间分形、空间分形、社会分形、思维分称它是“反常科学”。它从另一极端对传统科学提出了形等概念。其重要意义如下严峻的挑战,同时又给传统科学提供了天然的弥补和深第一,分形理论冲破了整体与部分之间的隔膜,找刻的启示。到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁,即整体与部分之间的信息“同构”。第二,分形理论的提出,转变了人们传统的思维方参考文献法,认识到整体与部分之间的关系可由线性进展到非线王启文,陈绍英,混沌研究点滴[,呼伦贝尔学院学报,2005(6性的阶段,且它与系统论还能共同揭示整体与部分之间2]陈绍楹,王启文,分形理论及其应用J.呼伦贝尔学院学报的多层次、多视角、多维度的关联方式。2005(2)第三,分形理论为人们提供了一种认识世界的新的(3]刘秉正,彭建华.非线性动力学[M.北京:高等教育出版社,方法论,进而为人们提供了从部分中认知整体,从有限中认知无限的可能和依据4]黄润生,混沌及其应用[M,武汉:武汉大学出版社,2000第四,分形理论的提出进一步丰富和深化了唯物辩5]郝柏林,混沌与分形——郝柏林科普文集[M.上海:上海科证法关于普遍联系和世界统一性的原理,它与混沌理论技出版社,2004起构成了非线性科学的重要基础。896](美)EN洛仑兹,混沌的本质[M,北京:气象出版社,19977]李淅生,倏忽之间—一混沌与认识M,北京:冶金工业出尽管经典几何所研究的对象是规则而光滑的几何形状,如一条几何曲线总是处处连续且处处可微,然而,8]苗东升,刘华杰,浑沌学纵横论[M.北京:中国人民大学出自然界中往往存在着千姿百态的自然形状,如起伏不平版社,1992.Fractal TheoryWang Qi-wen( Hulunbeier College Physics Department, Hailaer, Neimenggu, 021008, ChinaAbstract: The article introduces the formation and development situation of the fractal theory, in order to let beginnersknow it is a new part of the nonlinear science and its importance in understanding the process of thinking in such acomplicated world. We could see the chaos of nature again. Hope more aspiring young people join the research of thenonlinear science which runs through various fieldsKey words: fractal; chacfractal dimensionnonlinear