格的微分

第25卷第5期西安航空技术高等专科学校学报Vol. 25No. 52007年9月Journal of Xi'an Aerotechnical CollegeSept,2007格的微分李小光(西安航空技术高等专科学校基础部陕西西安710077)摘要:在偏序关系的基础上给出了格的微分定义,同时也給出了恒等微介和保序微分的定义。通过格徽分的弱正则性和正则性,研究格的微分的一些性质。关犍词:微分;保序;同态;最大元;微分;弱正则中图分类号:O153.1文献标识码:A文章编号:10089233(2007)05-0054集合,(L,∧,V)被称为格,如果Vx,y,z∈L,下列条件1基本知识简介微分的概念是在连续变量的基础上提出的。人们自然(幂等律);会想:能否基于离散变量建立微分结构。国内外数学工作者(2)xAy=y∧x,xVy=yV(交换律);在这方面做出了可喜的成果。1957年 E. Posner在素环上研(3)(x∧y)∧z=xA(yAz),(xVy)Vz=xV究了微分。1987年HE.B,L,C. Kappe,G.Mmn,K.(yAz)(结合律);Kaya和 E. Posner研究了环近似环及近似域上的微分理论(4)(xAy)Vx=x,(xVy)∧x=x(吸收律)YOUNG Bae J和 XIAO longⅪin给出了BCI-代数上的显然,用偏序集定义的格和用代数系统定义的格,两种定义微分。辛小龙教授把微分的概念引人到格这一系统理论中,的实质是一致的。研究了格的微分的若干性质,得到了一些有价值的结论。本定义1.4设(L,∧,V)是一格,我们可以在L上定义文是在此基础上进一步来研究离散变量微分的概念以及相一个关系“≤关的一些性质。x≤ y+x A yoI Vy=y定义1.1集S中的一个关系p叫做偏序关系,是指定义1.5设L,M是两个格映射6:L→M叫做保序a,b∈S,下述条件成立:的,是指对(1)自反性ax;x,y∈L,x≤pm≤y(2)反对称性a,b→a=b定义1.6设(L,⑧,团和(S,“,+)是两个格,如果(3)传递性c,b→ap。存在L到S的映射f满足:定义1.2一个偏序集L叫做格,是指对Ⅴa,b∈L,存f(xAy)=f(x)*f(y),f(xVy)=f(x)④∫(y)在{a,b的最小上界和最大下界,分别以aVb及a∧b记则称∫是L到S的格同态映射(简称同态)当L到S的同态映射∫是单射时,则称f是L到S的单另外,格也可以不用偏序关系而直接用两元间代数运算格同态(简称单同态);相反地,若∫是满射时,则称∫是L到来定义,自然可将A和V看作是集L上的两种二元合成,从S的满格同态(简称满同态);当∫是双射时,则称是L到S的而可以得到格作为一种代数结构的又一定义。格同构映射(简称同构)。定义13设L是具有二元合成运算“∧"、V”的非空定义1.7设是格L的一个非空子集,如果满足收稿日期:2007-06-19甚金项目:陕西省自然科学基金资助项目(2004A11),陕西省教育厅专项科研基金资助项目(03JK058)。作者筒介:李小光(1973-),女,辽宁省铁岭市人,西北大学代数学专业硕士硏究生,现为西安航专基础课部讲师,研究方向:代数学格论。李小光:格的微分55(1)x≤y,y∈I蕴涵x∈I下证(2),(4)。2)x,y∈I蕴涵xVy∈I,证(2)因为d(xAy)=(xAdy)V(yAdx),z∧则称I是格L的理想dy≤d,yAd≤dz,所以d(xAy)≤ dx v dy;又因为d(xAy)≥xAd≥d∧d,故d∧d≤d(x∧y)2格的微分≤ de v dy。定义2.1设d是格L上的映射,若满足恒等式证(4):任取y∈d则存在x∈I使得y=dx,由(1)知d(x ay)=(x a dy)V(y a dx) V,yE Ly=dx≤x,而I是理想故y∈I,即dIsI则称d是L上的微分命题1设d是格L上的微分则d保序的充要条件是例1如下所示的格L,若在L上定义映射为d(x∧y)=dx∧dy0,1证明:必要性。因为x∧y≤x,xAy≤y且d保序,所以有d(xAy)≤b则显然d是L上的微分则有d(xAy)≤dx∧dy,例2如图(1)所示的格L,若在L上定义映射d为:又由性质1(2)知d(xAy)≥dxAd于是d(xAy)0,x=0,1,adx∧dy6, x b设x≤y,则x=xAy,d=d(x∧y)=dx∧dy,dx≤d,即d保序。命题2设d是格L上的微分,d是恒等微分的充要条件是d(xVy)=(xVdy)∧(yVdx),Ⅴx,y∈L。证明:必要性因为d是恒等微分,即Vx∈Ldx =i'图1运算图所以d(xVy)=(xVy)=(xVy)∧(xVy)=(xV则容易验证是L上的微分。dy)A(yVdx),x,y∈L充分性。定义22设d是L上的映射,若对于Vx∈L,dx=因为d(xVy)=(xVd)A(yVdx),Vx,y∈L。0,则d是L上的微分,此时称d是L上的零微分。特别的dx=d(xVx)=(xVdx)A(xVdx)=x定义23设d是L上的恒等映射则d是L上的微分,Vdx,所以dx≥x;此时称d是L上的恒等微分。又由性质1(1)知dx≤x;所以Ⅴx∈L,dx=x,即d是恒定义24设d是L上的微分若x≤y→d≤小,则等微分称d为保序微分。命题3设d是格L上的微分,若y≤x且dx=x,则例3设L是格,a∈L,d是L上的映射,Ⅴx∈L,dxdy yo证明:设y≤x,则y=x∧y,所以显然,d为L上的保序微分。dy=d(x∧y)=(xAdy)v(y∧dx)(x∧y)V定义25设d是L上的微分,若满足d(xVy)≤dxdy=yVd=yoVdy,则称d是弱正则的。例4如图(2)所示在L上定义映射d为:定义26设d是L上的微分,若满足d(xVy)≤dxVdy,则称为d是格L上的a微分,也称d是正则的。3格的微分性质性质1若d是L上的微分,则(2) dr a dy≤d(x∧y)≤ de v dy(3)若L含极大元1和极小元0,则d0=0,d1≤1(4)若I是L的理想,则dsI称Ⅰ是d的不变量图2运算图证明:(1),(3)易证西安航空技术高等专科学校学报第25卷x, x=0,c,a证明:dx=d(x∧1)=(dxA1)v(xAd1)=(xdr =a, x b∧d1)推论1设L是含有最大元1的格,d是L上的微分,则因d=a,b≤a,但≠b,与命题3.5矛盾所以d不是(1)若x≥d1,则dx≥d1;格L上的微分。定理2设是弱正则的则下列条件等价证明:由命题6知,Vx∈L,dx=(xAd1)Vdx,所(1)d是保序微分以d≥(xAd1),(2)d是同态(1)又因x≥a1,所以xAd1=d1,可得dx≥d1。(3)d(xAy)=dx∧dy;(2)又因x≤d1,所以xAd1=x,可得dx≥x,再由(4)d是格L上的a微分。性质1(1)dx≤x,所以dr=x。证明:(1)→(2)因x≤xVy,y≤xVy,所以d≤命题7设L是含有最大元的格,d是L上的微分,则下d(xVy),d≤d(xVy)则dzVd≤d(xVy);又因列条件等价:d是弱正则的,即d(xVy)≤ dx v dy,所以d(xVy)=(1)d是保序微分;le v dy另一方面由命题1可知,d(x∧y)=dx∧d,所(2)dx=x∧d1;以d是同态(3)d(x∧y)=dx∧dy;(2)→(3)。显然!(4) dr v dy≤d(xVy)。(3)→(4)因d(xAy)= dx a dy,由命题1知d是保序的在本文的基础上,还可以继续研究其它形式的微分。则x≤xVy,y≤xVy,所以d≤d(xVy),d≤d(xVy)。则 dx v dy≤d(xVy);又因d是弱正则的,即d(x參考文獻Vy)≤dxVd,所以d(xVy)= dr v dy[1]盛德成抽象代数[M]北京科学出版社,200由定义2.6知,d是格L上的a微分。[2]陈莉,刘晓霞离散数学[M]北京:高等教育出版社,(4)→(1)。设x≥y则有x=xVy,dx=d(xVy)2002dr v dyo[3]中山正(董克诚译)格论[M].上海:上海科技出版社所以dx≥dy,即d是保序微分。命题5设L是含有最大元1的格,d是L上的微分,则[4]E. Posne, Derivations in prime ring,Poc. Amer. Mathd是恒等微分的充要条件是:d1=1Soc.8(1957):1093-1100证明:充分性。[5 H. E Bell, Grason. On derivation in near-rings and设d1=1,dx=d(1∧x)=(1Adr)V(xAd1)near-fields, North-Holland. Math. studies 137(1987)Vx,所以dx≥又由性质1(1)知dx≤x,所以dx=xa[6 Young Bae Jun and Xiao Long Xin, On Derivations of必要性。BCI-algebras. Information Sciences, 159(2004): 167.因d是恒等微分,即Ⅴx∈L,dx=x;又由已知1∈L,176所以d1=1。[7] Xiao Long Xin, Ti Tao Li, and Jing Hua Lu. On Deriva命题6设L是含有最大元1的格,d是L上的微分,则tions of latticesⅤx∈L,dx=(x∧d1)Vdx。[贵任编辑、校对:包安源]Derivation of LatticeLI Xiao-guangDepartment of Basical Courses, Xi' an Aerotechnical College, 710077, Xi'an, Shaanxi, China)Abstract: Derivation of lattices definition have been given based on the partial order, simultaneously, definitionof identical differential coefficient and order preserving differential coefficient were offered. The essay via weakregularity and regularity of derivation to research some characteristics of derivationKey Words: Differential Coefficient; Order Preserving; Maximum Element; Weak Regularity