Henon系统动力学行为的MATLAB仿真研究

第27卷第3期商丘师范学院学报Vol 27 No. 32011年3月JOURNAL OF SHANGQIU TEACHERS COLLEGEMarch, 2011Henon系统动力学行为的 MATLAB仿真研究孙红章,毛爱霞,苏向英,刘磊,魏荣慧,刘钢(河南科技大学物理与工程学院河南洛阳471003)摘要:利用 MATLAB对 Henon系统的动力学行为的演变进行仿真与分析.通过对时城图、相图、功率谱和分岔图的分析,表明 Henon系统可通过阵发性途径走向混沌,其间歇性与霍夫分岔和倍周期分岔密切相关关键词:混沌;奇怪嗄引子;相图;功率谱;分岔中图分类号:0415.5文献标识码:A文章编号:1672-3600(2011)03-0054-04Simulation of the Henon systems dynamical behaviors by utlizing MATLABSUN Hongzhang, MAO Aixia, SU Xiangying, LIU Lei, WEI Ronghui, LIU Gang(School of Physics and Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, China)Abstract: The dynamical behaviors of Henon system are simulated and analyzed by utlizing MATLAB. By the methods of analyzing its time domain graph, phase graph and power spectrum, it shows that the Henon system may tendto chaos by intermittency transition, and its intermittent property is closely related with Hopf bifurcation and perioddoubling bifurcation routeds:chaos; Henon system; phase graph; power spectrum; bifurcation引言自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统非线性动力学中提出的混沌理论透过扑朔迷离的无序混乱现象和不规则形态揭示隐匿在复杂系统内部的规律.混沌已经成为目前非线性科学研究中的热点前沿课题2. Henon系统是典型的二维离散非线性动力学系统,而其混沌控制一直是近年来非线性科学领域中研究的焦点之一5,但对 Henon系统通往混沌的途径研究较少.1 Henon系统的动力学方程Henon系统的动力学方程为xn+I=l-ax,+y(1)b,+l取a∈[0,14],b=0.32数值模拟和结果对于(1)式这样的非线性微分方程没有解析解,只能利用计算机求其数值解.我们利用迭代法进行MATLAB编程来对非线性方程(1)求解,然后用 MATLAB软件和Ogin软件作图我们首先得到了y随t变收稿日期:2010-11-11中国煤化工基金项目:河南省科技发展计划资助项目(102102210164);河南科技大16);河南科技大学科研基金资助项目(05-032;20060N033)YHCNMHG作者简介:孙红章(1977-),男河北藁城人,河南科技大学讲师,主要从事非线性物理的研究第3期孙红章,等: Henon系统动力学行为的 MATLAB仿真研究化的时域图.当a=0.3时,如图1(a)所示,系统经由一个暂态过程,过渡到一个稳态,在此状态y只有一个值y=0.3.同理x也将只有一个值x=1,若用x与y的关系图即相图来表示,终态在相图上是一个固定点当a=0.65时如图1(b)所示,系统的稳态是两条直线,y只有两个稳定值y=0.40685和y=-0.083773.同理x也将有两个稳定值x=1.3562和x=-0.27924,终态在相图上是两个固定点当a=0.95时,如图1(c)所示,系统的稳态是4条直线终态在相图上是4个固定点但当a=12时,如图1(d)所示,系统的稳态是杂乱无章的点,y的取值似乎没有规律,每次迭代计算得到的y值既不趋向某个常数值,也不出现简单的重复,系统已从周期运动进入了混沌运动当a=1.24时,如图1(e)所示,系统的稳态是6条直线,y有6个稳定值.当a=1.4时,如图1(f)所示,系统又出现混沌状态(a)a=0.3(b)a=0.65∷∴∷∷灬(c)a=0.95(d)a=1.2∵∵∷:∷∷∴(e)a=1.24M凵中国煤化工图1y随t变化的时CNMHG我们还得到了系统混沌运动时的相图和功率谱如图2所示,我们得到了当a=1.2时 Henon系统的吸引子和y分量功率谱如图3所示我们得到了当a=14时 Henon系统的吸引子和y分量功率谱白噪声和混沌都是非周期运动,它们的功率谱都是连续的谱白噪声因其无规则性,其功率谱密度在整个频域内均匀商丘师范学院学报201l年分布所有频率具有相同能量故白噪声具有平坦功率谱但是混沌运动具有确定系统的随机性,如在倍周期分岔过程中,每一次分岔产生一个新的频率,功率谱中就出现一个对应新频率的峰,当分岔数达到无穷多时就达到混沌态正如图2(b)和图3(b)所示,尽管混沌系统的连续功率谱仍有尖峰,但会增宽一些,所以混沌功率谱不是平谱,而具有“噪声背景”和“宽峰”0.0009n.0000600003(a)吸引子(b)y分量的功率谱图2a=1.2时系统的吸引子和y分量功率谱0.Do060.0o2(a)吸引子(b)y分量的功率谱图3时系统的吸引子和y分量功率谱图4(a)-(d)所示的是利用 Matlab做出y随a变化的分岔图.当a∈[0,0.370]时,一个a值只对应个y值属于单周期解,分叉现象实际上是从a=0处附近开始的,从这里迭代由零值进入到单周期运动,即出现了一次霍夫分岔.当a=0.370处附近出现了倍周期分岔,先由单周期运动分岔为两倍周期运动接着a0.913处附近,由两倍周期运动分岔为4倍周期,a=1.056处附近,4倍周期分岔为8倍周期.a∈[90,1.059]是 Henon系统的规则区,但随着不同参数a发生一系列倍周期分岔a=1.059处附近,图像是一片模糊,已经不存在周期性,说明系统进入了混沌状态基本上是 Henon系统的混沌运动区域,但仍然包含着规则运动这是因为进入混沌以后,看似模糊片,但把图像局部放大后可看出仍存在一些大小不一的窗口,在这些窗口里仍有规则运动,如a∈[1.2261.262]就是一个较大的规则运动窗口图4(b)、(c)和(d)所示的就是把图像局部放大后的图像在a=1.1227处附近出现了一个7周期的解,在a=1.241处附近,两条曲线相交,此后在a=1.25附近又开始出现倍周期分岔,于是产生14周期轨道然后在a=1.262处附近再次进入混沌随着a值的增加, Henon系统展现的是规则运动和随机运动相互交织、包含着无穷层次的复杂运动,具有分形特征但是倍周期分岔不产生7周期轨道,只能产生248等轨道实际上,霍夫分岔便发生在从混沌运动回到规则运动的边界附近霍夫分岔的发生地点是7周期出现的地点,即在a=1.227附近动经由霍夫分岔做规则的周期运动,再经过倍周期分岔进入随机的混沌运动这种途径可以中国煤化工间歇性与霍夫分岔和倍周期分岔密切相关CNMHG第3期孙红章,等: Henon系统动力学行为的 MATLAB仿真研究020406D844114121211812(a)y的分岔全图(b)1.22≤a≤1.25,-0.4≤y≤0.4范围的分岔图02A-0.20421.231241251261.21.2810甲”1,,1“,812(c)1.22≤a≤1.29,0.26≤a≤0.31(d)1.22≤a≤1.29,-0.08≤y≤0.04范围的分岔图范围的分岔图图4y的分岔全图和局部放大的分岔图本文利用 MATLAB对 Henon系统的动力学行为的演变进行仿真与分析,通过对时域图、相图、功率谱和分岔图的分析,表明 Henon系统可通过阵发性途径走向混沌,其间歇性与霍夫分岔和倍周期分岔密切相关参考文献:[1]刘宗华.混沌动力学基础及其应用[M].北京:高等教育出版社,2006.1-59[2] Sun Hui-jing, Cao Hong-jun. Chaos Control and Synchronization of a Modified Chaotic System[J]. Chaos, Solitons andFractals,2008,37(5):1442-1455[3]刘福才,王娟,彭海朋,等. Henon混沌系统的预测控制与同步[J].物理学报,2002,51(9):1954-1959[4]郝加波,张志远. Henon混沌系统的估计跟踪及参数摄动控制与同步[J].四川师范大学学报(自然科学版),2008,31(4):432-4[5]刘振泽,田彦涛,曹辉.基于Hnon系统和 duffing方程自同步与异结构同步的研究[J]合肥工业大学学报(自然科学版),2006,29(6):728-731【责任编辑:徐明忠】中国煤化工CNMHG