拱的结构分析

第23卷第2期安徽工程科技学院学报Vol. 23. No.22008年6月Journal of Anhui University of Technology and ScienceJun. .2008文章编号:1672. - 2477(2008)02- 0001-06拱的结构分析干洪',王彦红2(1.安徽工程科技学院,安徽芜湖241000;2. 安徽建筑工业学院土木工程学院,安徽合肥230022)摘要:采用节点柔度矩阵的方法.通过求逆和刚度平移矩阵最后形成曲杆单元刚度矩阵,采用卡氏第二定理求出单元荷载等效节点力.然后与节点荷载叠加.形成结构荷载.通过计算对比,精度大大提高.关键词:拱结构;节 点柔度矩阵;单元刚度矩阵;单元荷载中囝分类号:TU311文献标识码:A引言在现代结构工程,尤其是桥梁工程中,曲杆结构的应用已经相当广泛.曲杆结构具有独特的流线型结构,线条流畅、明快,意境生动,能够给人以美的感受.拱是工程实际中最常用的曲杆结构形式,特别是在桥梁工程中得到极为广泛的应用,例如桥梁上常用的钢筋混凝土拱桥和石拱桥,在隧道等地下结构中常采用钢筋混凝土拱圈作衬砌,在房屋建筑中有时也采用拱形的房屋和门窗过梁等.拱结构最重要的特性是在竖向荷载作用下会产生水平推力.由于水平推力的存在,拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多,并且主要是承受压力.我国可谓拱桥的国度,其中驰名中外的河北赵州桥就是代表之-.曲杆结构在现代建筑中更是比比皆是,但在结构分析特别是大型电算的精度和效率方面还有待进一-步发展.传统的平面曲杆构件的内力分析,采用矩阵位移法时,大多用直杆单元来代替曲杆,即用多段折线杆件来代替曲杆,这样处理无疑会使精度降低其次,折线部分的直杆单元在进-步细分时必然在宏观尺寸的比例上相差太多,这也是影响精度的一个重要因素.本文以平面曲杆单元作为分析单元,通过求解节点柔度矩阵,进而得到节点刚度矩阵,然后通过建立单元的刚度平移矩阵的方法,最后建立曲杆单元刚度矩阵.文中首次采用卡氏第二定理,通过求解任意一段平面曲杆的内力,编制公式形成单元荷载的等效节点力,可系统建立曲杆单元荷载的等效节点力列阵.计算表明,本文方法比传统方法的计算精度有显蓍提高.1拱的 结构刚度矩阵1.1 直杆单元的节点刚度矩阵.从研究平面刚架单元人手,把平面刚架单元刚度矩阵式按节点i和j划分为4个子矩阵，节点坐标分别为(0,0)和(L,0)(1)得)-[;门1}式中,F’、F,'、o,' o,'为节点力和节点位移,ku'、k,'为节点i和节点rj的刚度矩阵,k,'、k,;'为节点i和节点j的交叉刚度矩阵.图1所示为一悬臂梁,在自由端作用着{F'}={Fz' F,’M,'} ，(2)当o;'的分量均为1时:圈1节点位移和节 点力的方向(3)这时，支座节点i的反力为R,' ,由刚度定义得到:中国煤化工收稿日期:2008-04- 10MYHCNMHG基金项目:安徽省教育厅自然科学基金资助项目(2006kj082a 2008kj031a)作者简介:干洪(1954-).男 .安徽庐江人.教授.报2008年k,'=R;'，(4)如果把F,'平移到支座节点i,得到:F,'= H'F,'= H,'k;'，(5)式中,H。为由j向i平移的变换矩阵10][H,]=(6)L-(y;'-y,') -(x,'-x') 1」列出节点i处的平衡方程:R,'=-Fo’，(7)于是k;'=-Hz'k;'，(8)由于刚度矩阵的对称性k,'=(k,')T=-k,'Hj，(9)类似式(8)得到:k;'=-Hgk.' ,[H,]=- [H,]=-[H,]-'，k,'= H,k&'.(10)或将上式转置k.'= H,'k,'=-H,k,'= H,k,'H，(11)可得:互为kT =k。= (-H,k,')T=-k,TH; = H,k,'H，(12)-H上'转置-H上.'综合上列各式,得到各节点刚度矩阵关系图，如图2所示.于是在局部坐标系下知道节点刚度矩阵k,'后,利用上述关系就可导出单元刚度矩阵:圄2节点刚度矩阵关系圜[H,k,'H - H,k,'1[k'=[ k,Hh k,"」(13)1.2曲杆单元刚度矩阵的推导直接推导曲杆单元的刚度矩阵比较复杂,但我们可较方便地求出节点柔度矩阵,然后求逆得到节点刚度矩阵,再根据式(9)便可得到单元刚度矩阵.下面以圆弧杆为例，详细推导曲杆单元刚度矩阵.Y。图3所示为-平面刚架曲线单元i,其形状为一圆弧,圆心在0点.曲线单元在xOY平面内，假定截面特性沿弧长不变.i端为固定端,而j端为自由端.经推导可得:圈3曲杆单元局部坐标系下j点的柔度矩阵为:[r(3φ-4sinφ+ sin qpcosp) - -2(2- 2cos qpsin2' φ)一 2r(p- sinp)][d;]= 3ET.- -2(2- 2cosφ一sin2 φ)广 (φ - sin ocos φ)2r(1 - cos φ)(14)一2r(φ- sin p)2r(1 - cos p)2φA=行(3φ- - 4sinφ+ sinpcosq) ,B=- 河(2- 2cosφ-sin2 φ)，C=河(φ- sinqcosφ)，D=- 可(φ一sinp) ,E=F=年,G=ld,'|=ACF+2BDE-CD2-AE.中国煤化工将上式求逆可以得到局部坐标系下j点的刚度矩阵:YHCNMHG第2期干洪,等:拱的结构分析「CF一EDE- BF BE- CD1\r"[k,']=[d,]-=DE-BF AF-D° BD- AE(15)可LBE-CD BD-AE AC- B2X-X,如图4,可得到y,一y:=r(1-cosφ) =-H ,(16)x;一x, = rsinφ= I ,于是,力系由j点向i点平移的变换矩阵图4曲杆单元的几何尺寸[Hj]=010(17)rsinp把式(15)、(17)代入(13),即可得出局部坐标系下的单元刚度矩阵pK’' Kx2' Ks' Ku' Ks' K2o'Kz1’ K2’Kz3’ Kz' Kzs' K26'[k'] =(18)Ks1’Ksz' Ks3’ Ksi' Ks' Kss'Ko' Ks2' Ko3' Ke' Kss' K6o'」其中，Kn'= (CF- E)/G,Kn'= Kz'= (DE - BF)/G,K;3'= Ksl'= (CFH- EH+ DEI- BF1+ BE - CD)/G,K'= Ka'= (E一CD)/G,Kis'= Ks' = (BF - DE)/G,Ku6'= Ks'= (CD - BE)/G,Kz2' = (AF- D)/G, .Kz3'= Kz2' = (DEH- BFH- AFI-D*1+ BD一AE)/G,Kx'= Ka2'= (BF- DE)/G, .Kzs'= K2'= (D°- AF)/G,Kz'= Ko2' = (AE - BD)/G,Ks' = (CFH'- E H + 2DEIH -2BFIH + 2BEH - 2CDH +AFI'- D°I2 + 2BDI - 2AEI)/G,Ks.' = Ks'= (-CFH+EH- DEI + BFI- BE + CD)/G,Ks'= K<3'= (一DEH + BFH-AFI + D*1- BD + AE)/G,Kso'= K3' =(- BEH +CDH- BDI + AEI - AC+ B*)/G,K.'= (CF- E)/G,Ks'= Ks' = (DE - BF)/G,Ke'= Ko' = (BE - CD)/G,Ks'= (AF- D*)/G,Ks'= Ks'= (BD - AE)/G,K66' = (AC-B2)/G .(19)1.3 整体坐标系下单元刚度矩阵中国煤化工整体的转换，对结构进行分析时,需要整体坐标系下的单元刚度矩.MYHCNMHG[k] = [T][k][TJ"，(20)式中,[kJ]、[k']为整体、局部坐标系下的单元刚度矩阵3,[r]为坐标变换矩阵.安.徼工程科技学院学报2008年cosasina 00sina cosa 00|[] =，(21)cos axR0(1」图5单元的坐标变换. a即a,(见图5),根据几何关系有:a;=a一罢 ，式中中为圆弧所对的圆心角,a为i、j点连线与X轴夹角.cosa, = cos(a-景)= cosacos罢+sinasin景,sina, = sin(a-置)= sinacos贵- cosasin墨，(22)令J=cosa,L=sina,则可求出整体坐标系下的单元刚度矩阵为:Ku Kx2 K:s Kxs K:s Kis~Ka K22 Kzs Kzs Kzs KzsKaKszKsKsKssKs[k]=KaKx Ks Kus Ks Kse(23)Ksi Ks2 Kss Kss Kss KseK61 Ke2 Ka3 Ko4 Kes KesJ其中，K: = Jku'- -2JLkz'+L2kz',K1z = Kz1 = JLk'+(J°+L')kIz'- JLkr',Kis= KsI = Jks'- Lkzs'，Ku = Ka = J"kui'- JLkz'- JLks'+ L'k2s'，K1s = Ksi = JLk'-L"kx' +J'kis'- JLkzs',Kre = Ken = Jks6'- Lk2o',Kzz = L'Lkn'+2JLk1z' + Jkzz,Kzs= K32= Lks'+ Jkz3',K2s = Ka= JLkn'+J*kzi'- L'kis'- JLkts'，(24)Kzs= Kse = L'ks' +JLkz'+ JLkis'+ J*ks',K26 = Ke2= Iks6'+ Jkz',Ks4 = Kas= Jks'-Iks',Kss= Ks= Lksn'+Jks'，Ks6 = Ke3 =ks6',Kus = J*ku'-2LJkes'+L'kss',Ks= Ks = JLk'+(J°-L')ks'-LJks',Kee = Kos = Jk6'一Lkss',Kss = L'kev'+2LJks'+J'kss',Kss = Kss = Lks'+ Jks',Kse = keo'.得到整体坐标系下的单元刚度矩阵后,便不难利用直接中国煤化工作,不再赘述.2拱结构的荷载向量YHCNMHG直接作用在节点上的荷载,应按照荷载作用在节点上的方向(节点位移的方向,图1) 来叠加荷载向量第2期干洪.等:拱的结构分析{P}.如有分布荷载,还应在{P}中叠加单元等效荷载{Fg} .对于曲杆结构,由于各点的切向、径向都是变化着的，情况较为复.r↑q杂.为简单起见,本文仅就满跨均布荷载进行讨论.,XX如图6所示为一均布荷载下的拱结构,对于相应基本静定系统,设多余未知力为切开的截面之间的轴力、剪力和弯矩,分别用X1,X2,X;表示.与3个多余未知力X;,Xz,X;相对应的广义位移依次为两切开分量、相对错动量和相对转角,分别用D,D:,Ds表示,变形相容条件为围6均布荷 载下的拱结构D:=0,D2=0,D3=0，(25)由卡氏第二定理D.-张,D2=张,Ds=K ，(26)上式中v.=[° M(O)Rd0 ,(27)。2EI为结构应变能,且M,(0) = XR(1-cos0)- X;Rsinθ- X; +一QR*Ccosφ- cos(qp+0)] .(28)为k截面弯矩,代入变形相容条件,得补充方程为我=0，我一0，x-0，(29)联立上列3式,即可求得3个多余未知力X; ,Xz,Xs.即便在变化的分布荷载q(x)情形下,对于(29)式中的积分,亦可运用Matlab软件,方便得到结果.由于固端反力与等效节点力是作用力与反作用力的关系，故采用固端反力求得的等效节点力{Fg}还应取负号.最后求解结构刚度方程:[K]{O} ={P}，(30)即可得到拱结构的位移.3拱结构的内力与反力曲杆结构与其他杆系结构一样,单元的杆端力和支座反力通常由两部分组成.得到结构位移{O}及单元位移{δ}后,单元两端位移所引起的杆端力{F}:{F} = {k}{&} ,(31)当某节点为支座节点时,杆端力就是支座反力，单元荷载所引起的杆端力就是固端反力.由于等效节点力是在整体坐标系下,所以要通过坐标变换得到局部坐标系下的杆端力{F'} = [T]{F} ，(32)式中[T]坐标变换矩阵(21).最后的内力与反力效应应将上述两部分相叠加，4算例算例1如图7所示,等截面半圆无铰拱,均布满跨荷载Q,试求拱结构的内力.R中国煤化工MHCNMHG图7 均布满跨荷载Q圉8拱顶作用集中荷载F,安徽工塑科技学院学报2008年令Q= 1,R= 1.计算结果如表1所示.表1拱结构的内力计算结果计算结果误差分析/%拱脚内力水平力竖直力弯矩精确解0. 5601. 000--0.1072个单元1.000一0.1070曲杆单元求解4个单元0. 560.- 0. 1078个单元0. 4940.17011.82590. 573- 0. 0122.30. 595- 0. 0826.323.4直杆单元求解16个单元0. 582.- 0, 0983.98.432个单元0. 570一0. 1021.84.764个单元0. 563- 0. 1030.53.7算例2如图8所示,等截面半圆无铰拱,拱顶集中荷载作用F,试求拱结构的内力.令:F,= 1,R= 1. 结果如表2如示.裘2拱结构的内力计算结果弯矩.竖直力，0. 4590. 5000.1110. 500.0. 459.16个单元;0, 500.0. 494.0. 0037.697.30. 4540.5000.0761.131. 50. 4550. 1060.94.5参考文献:[1]干洪.计算结构力学[M]合肥:合肥工业大学出版社.2004.[2]赵超燮. 结构矩阵分析原理[M].北京:高等教育出版社,1983. .The Analysis of Arch StructuresGAN Hong' ,W ANG Y an-hong2(1. Anhui University of Technology and Science. Wuhu 241000, China;2. Sch. of Crv. Engn. ,Anhui University of Architecture. Hefei 230022 ,China)Abstract: By computing the point flexible matrix of the curved beam element and inverting it, the curvedbeam element stiffness matrix can be derived by the stiffness translating matrix . The equivalent pointforce is worked out by the way of Castigliano's second theorem for the element load. All the loads areadded to form the load vector of the structure. The computine accuracv is improved evidently.Key words:arch structures; point fle xible malrix; element stif中国煤化工YHCNMHG