热带气旋的准平衡动力学结构

北京大学学报(自然科学版),第35卷,第3期,1999年5月Acta Scientiarum NaturaliumUniversitatis Pekinensis, Vol 35, No. 3(May, 1999)热带气旋的准平衡动力学结构”孙峰刘式适北京大学地球物理学系,北京,100871)摘要将热带气旋分为内外2个区,2个区的时间、空间及物理量有不同的尺度,应用尺度分析和摄动法到热带气旋的2个区域,分别求得在2个区域的控制方程,其中内区受旋转风和一个演变方程制约,外区受梯度风和另一个演变方程制约。内外区的演变方程形式上相似,可统一求解,并解析地求得了2个区域的流场和气压场,得到的解能反映热带气旋结构的一般特征。关镳词热带气旋;摄动法;动力学结构中图分类号P444;P4330引言大气运动十分复杂,具有各种不同空间尺度的涡旋,它们的性质也各不相同,尺度分析表明L=10km的小尺度运动,可以不考虑 Coriolis参数的运动;L=100km的中尺度运动必须考虑∫的作用,但Rsy参数=出的作用较小;L=100km的大尺度运动必须考虑B的作用。尺度分析和摄动法较好地解决了大气大尺度运动演变:零级近似为地转平衡,静力平衡,和水平无辐散关系。而一级近似满足准地转位涡度方程。对于热带气旋这样的中尺度涡旋Peng和 williamsi用尺度分析方法和摄动法较好的解决β效应对热带气旋非对称流场结构的影响。凌国灿和李显霖(2首先提出将地转涡分为内层和外层,并应用尺度分析和摄动法求得了地转涡内层解,但他们主要求的是含摩擦的地转涡内层的数值解。刘式适等34利用尺度分析和摄动法求得了描写热带气旋运动的控制方程并解析求得热带气旋的内外区结构。但尺度的分析存在一些问题:垂直速度的尺度取得过大,水平散度尺度的选取与实际观测不符,另外给出了切向速度和径向速度的垂直切变尺度,主观性比较强,本文重新选取了热带气旋的尺度,得到了新的热带气旋内外区的演变方程。新的演变方程内外区相似,并统一求解,找到一个形式较一般的解。1基本方程组在柱坐标系(r,0,z)中描写热带气旋运动的基本方程组可以写为中国煤化工CNMHG1)“非线性科学”和LASG资助项目收稿日期:1997-1209;修改稿收到日期:199804013孙峰等:热带气旋的准平衡动力学结构367OUr. vr orUa卓fvvaveatar1a(m)+19+9=08/φ8/9a/aψ8/⑨乎ataz(a2)+N2u=0。其中v、v和w分别表示径向速度,切向速度和垂直速度。φ≡p1p0(p为静止空气密度p为相对于静态大气的气压偏差),∫为 Coriolis参数(设为常数),N为湿的 Brunt- Vaisala频率,在垂直方向应用了静力平衡,即az60为静态大气的位温,0′为相对于静态大气的位温偏差。另外,方程组(1)中未考虑摩擦力的作用,且绝热方程采用湿绝热形式。大量观测事实表明,热带气旋存在一个含台风眼的内区和有强烈天气变化的外区。热带气旋的内外区的物理量的尺度结构和天气都有很大的不同,热带气旋内区水平尺度小,边缘切向速度达到最大,变化相对较快;外区水平尺度大,广大地区切向速度相对较小,变化相对较慢,因而将热带气旋分为内外区分别讨论。设热带气旋水平尺度为L(100km),垂直尺度为D(10km),特征水平风速取为U=10m·s-1,以c(10-1)作为小参数。在热带气旋内区水平尺度可取为EL(10km),内区的径向速度,切向速度和垂直运动尺度各取为U,U,EDU/L,外区的径向速度,切向速度和垂直运动尺度各取为U,eU,e2DU/L,内外区中的特征值都取为U22内区的摄动法首先考虑热带气旋内区的运动为使方程无量纲化,设f= fofarI v,中11r十2rI drI其中下标为1的量表示量纲为1的量。在上式中已考虑到水平散度的尺度要比构成水平散度的最大项小1个量级。将(3)式代入方程组(1),得到Ue. oUratI ar十ETura8f1ar1eLave,ve, a中国煤化工e141CNMHGaφ1中1v中i or1/ dz1az, az368北京大学学报(自然科学版)第35卷其中R=U.F,ND为 Rossby数和 Froude数,在本文的尺度分析下,Ro=O(10p),F,=O(1031),对方程组(3)中的物理量作如下的摄动展开:υ,=υ+εv2+e2v+(5)w=v)+εvP2)+2w{)+…,蚱=40)+e中+c2中2)+…其中上标为(0)的量表零级近似,上标为(1)的量表一级近似,其余类推。此外,考虑了热带气旋的3个速度中切向速度为最大。将(5)式代入方程组(4),可求得它的零级近似和一级近似分别为a中(0)a中1)(6)=0v.)av/1)2v0)v()r10)(1)(1)r1 a8a8(7)awrI a8 az1a+,()8)910(1)at11 ar1/az1小+a1)=0。(6)式表示零级近似满足旋转风关系而且轴对称。由于v0)=0,因此au8/0=0,实际上表示的就是零级近似是水平无辐散,这是主导气流的特征S。令()1e ar iDa1(x1v().01°)为无量纲的相对垂直涡度的零级近似,D)为无量纲的水平散度的一级近似。这样,方程组(7)的后3式可以改写为1)rIUrlv:,+a0D832r1510)824)arIa(9)中的第一式对r1徵商,得ar,va?sir,Dg+a821中国煤化工由方程组(9)的第2个方程和第3个方程有CNMHGr3中谷2r1℃(1)zariarId第3期孙峰等:热带气旋的准平衡动力学结构3698/a3中0(8x2)ax把(11)式代入(10)式,并利用(9)的第1式,可得到a oriGarir1Uat, ar,asa/a5;()roz。(6+803araz a0az1(3(m#)e(1)avga2中1(1or10°上式左端与无关,而右端各项均为一与6无关的量(零级近似量)与另一函数(一级近似量对θ微商的乘积,由于物理量的单值性,则右端各项对a积分1周后均为零,由此得到a2∮0at1 azfat1)az11621这是一级近似方程组(7)消元的结果,它只包含有零级近似量。将(12)式还原为有量纲量,得3((2()0(13)其中,(14)(13)式,(6)式和(14)式联合,有a(_1。r)1「a/32)a(1a2510)378N2Lat az20ar\ s0)a"(0)v8)(0)这就是描写热带气旋内区运动的控制方程组3外区的摄动法对于热带气旋的外区,设f=f0f,中=U=fU,。…2rIt1,ur= UVr, ve= UveV凵中国煤化工CNMHGave(16)370北京大学学报(自然科学版)第35卷将(16)式代入方程组(1),得到a中1+rIvEW1 azlrIrIawTIUra乙.8+taz1)az912)+aow其中a0=NH为层结量纲为1的参数数量级为101。方程组(1)中的物理量按(6)式摄g动法展开,可求得它的零级近似和一级近似分别为0中10)∂1(0)f 1arIae a0,(O)aUr2v8)v1)中1a8fu19t1(19)(r1v(1)+0.+9)60nar/az(18)式表示零级近似满足梯度风关系而且是轴对称的。由于v0)=0,因此av00=0,实际上表示的就是零级近似是水平无辐散,这是主导气流的特征S。注意(8)式,这样,方程组(19)的后3式可以改写为TI∂1(1)atI(f1arivalr(20)82r1510),孑2中10a2中1at,dzrIaz, 1ur,+vo6z;+cr1ni)=0。(20)式中的第1式对r1微商并利用(20)式中的第2,3式,最后(20)式化为rIBh(0)a?中国煤化工ar1vanI,+ sfo) atiatCNMHG(1((:)第3期孙峰等:热带气旋的准平衡动力学结构37102a34(0)a31)1中1)(f1+t°)2frar ao/e).a中10)1h1+sfo l vp Vi+ 5o) ar ana //* aof1+ri /a6(21)82中18/中8o/araz ae Lax1 (f1 sorau上式左端与0无关,而右端各项均为一与无关的量(零级近似量)与另一函数(一级近似量)对微商的乘积,由于物理量的单值性,则右端各项对0积分1周后均为零,可得a+a./8n4a24()r;v:iaz+ 510) ar18z1 at0十t(22)这是一级近似方程组(19)消元的结果,只含有零级近似量。将(22)式还原为有量纲量得(0)82中()aNat az2araz at=0。(23)(23)式,(18)式和(14)式联合有rυ82p2中()atat az2+fv0)。φ(∂/aφ可以看到,热带气旋内外区的演变方程在形式上是相当一致的,通过适当的变形,可以转化为完全一致的形式。在外区作f2变换,则相应的垂直涡度为1 a6丿。(26)相应地,方程组(24)可以写为8/82p82中·arv6at az2).araz aaa中ar a0a0 a0 a中国煤化工方程(27形式上完全同方程组(15)式,(15)式中的v,p以,《,“就化为外区的演变方程(27)式,这意味着热带气旋内外区遵循相似的运动规律,可以统一求解372北京大学学报(自然科学版)第35卷4演变方程的求解热带气旋内外区的演变方程组(15),(27)统一设解(外区将*号暂时略去),为A(t)V(r,z),∮)=B(t)φ(r,z)。(28)则根据方程组(15),(27)的第2式,都可以得到dIn B/ddInA/dt2,当=1a2a=2(a/o82+(29)方程组(15),(27)的第1式利用(28),(29)两式,可以得到82更/bnrValnrv alnalnrv a3φ alor a2Φar azar araz azar30(29)式代入(28)式,可以得到1/1西a2西adaB(2ar283φ/aφaφ82φ/aφa3φaφaφ2N2 razor a2N2 araz aarz arazaφ/g}2+6@a+9{2N2a2((ar2ar ar2(31)为了求解非线性方程(31),设gP= C+y(Z),(C,D常数),(32)再将(32)式代入(31)式,它使(31)式的第2,3项为零,并得到关于y的微分方程d y(2-a)B解得N(2-a)B(34)因而,方程(31)的解可以写为Φ=CDb2(35)由(35)式,(6)式可求得热带气旋内区的切向速度及重力位势在径向和垂直方向的分布,√aBD(2-a)根据内区的一般特征,a取负值。则(36)式表明在热带气旋的内区,重力位势与ra成正比,而切向速度与r2成正比。选取适当的a值和各系数,即可得到与实际相近的切向速度和位势高度分布。另外a的取值也影响到垂直方向上的结构,这表明水平流场和垂直结构存在定联系。当a取-1,-2时,根据(36)式,分别对应中国煤化工0})=6r,∮"0)=BC1-BCNMHG(37)0)=62r,中(0)=BC2-D2r2+(38第3期孙峰等:热带气旋的准平衡动力学结构373由(27)式第2式,(35)式可以求得热带气旋外区的切向速度及重力位势在径向和垂直方向的分布,n9=2D-,40Bc-B-+助-a2(3)根据外区的一般特征,a取正值。则(39)式表明在热带气旋的内区,重力位势与ra成反比,同时还与柯氏力,层结稳定度等有关。而切向速度不但与r成反比,还与柯氏力有关,表现为梯度风的形式。同内区一样,a的取值也影响到垂直方向上的结构,表明水平流场和垂直结构存在一定联系。当a取1时,根据(39)式,对应r,∮(0)=BC3BD(40)需要指出,多个形如(36),(39式不同a取值得到的解或者多个a取值解的相加,都能分别满足热带气旋内外区的控制方程,这与实际大气中热带气旋尺度强度有一定差别是一致的。但不同的解反映的热带气旋内外区的主要特征却是相似的。另外需指出,当a=2时,(31)式各项都为零,因而形如(32)式的解成立,但不能确定y(z)的具体形式5热带气旋的结构综合前两节的分析,若设台风内区的半径为rm,台风的半径为re;设r=rm(z=0)台风的切向速度为v,则由(38)式和(40)式的第1式可以求得热带气旋的切向风速分布为2);(rm-r),(rm≤r≤它接近于典型的 Rankine涡旋。同时,可由(38)和(40)两式求得热带气旋的扰动位势分布,为+Bz-1N2,(0≤r≤2);+(x2-2)+Bbz-N2x2,(rm≤r≤re,a=1),这与实际分布较接近6结论对于热带气旋这样的中尺度运动运用尺度分析和摄动法可以获得描述热带气旋运动的控制方程组,并可求得热带气旋的结构。研究表明:对斜榄式在执带气旋的内区,运动时时刻刻都受旋转风控制,而流场及气压场的演变,受演化中国煤化工Kof aue e8/a2r5)8CNMHG控制。在热带气旋的外区,运动时时刻刻都受梯度风控制,而流场及气压场的演变,受演化方374北京大学学报(自然科学版)第35卷9(r+0:((r+m和e)]=0控制。热带气旋的内外区流场及气压场的具有相似的演变方程,水平流场与热带气旋垂直结构存在一定的制约关系。对于一级近似得到的演变方程,不能描述热带气旋的非对称结构,螺旋结构,需更高一级近似方程去描述。另外对于分离变量的解,未能体现位温扰动等在r方向上的变化。参考文献1 Peng M S, Williams R T Dymamics of Vortex Asymmetries and Their Influence on Vortex Motion on a B-plane. J Atmos Sci, 1990, 47: 1 687-2 0032凌国灿,李显霖.地转涡内层结构解.力学学报,1986,18:289-2963刘式适,刘式达.热带气旋的内外区结构(一):正压模式,热带气象学报,1994,10:193~203刘式适,刘式达.热带气旋的内外区结构(二):斜压模式.热带气象学报,1994,11:291-2995 Xu Q. Semibalance Model-connection between Geostrophic Type and Balanced-type Intermediate Models. J Atmos sci,1994,51:853-970Quasi-balanced Dynamic Structure of Tropical CycloneSUN Feng LIU ShikuoDepartment of Geophysics, Peking University, Beijing, 100871)Abstract Tropical cyclone is divided into inner and outer regions in which the scale of time-space andhysical quantity are all different making use of the scale analysis and perturbation method on the two re-gions of tropical cyclone the governing equations of baroclinic models are obtained respectively The innerregion is governed by cyclic wind while the outer region by gradient wind, but the governing equations areimilar, they can be solved analytically by the same equations. The obtained structure of the stream andpressure fields consistents approximately with observationsKey words tropical cyclone; perturbation method; dynamic structure中国煤化工CNMHG