导数在解题中的应用

数理化学习高中分析:由题设知,点A(cos2a,sin2a)和点CoSof( sinasina)2≥3,问题B(c0s2B,in2B)所在的直线方程是就会不攻自破构造直线: cosa+ usIna-1=ax + by00,因为点M(cosa,sina)在直线 coSA+ usina而经过A、B两点的直线方程还可以表示为1=0上,而点P(cosa'sin)不在此直线上y-sin2a sin2B- sin2.即xcos(a+B)+所以点p22)到点M(cosa,sina)的距ym(a+)-cos(a-B)=0coso SIna由于(1)、(2)表示同一条直线,因而原点离不小于它到此直线的距离3,即到两直线的距离相等.所以(cosa2coso)+(sina)2≥3成立cos(a-B)IsInacos(a+B)+ sin (a+B)+b2故(c0a-2)2+(sima-2)2≥cos(a-B)=小结:巧妙构造直线证明三角不等式,避小结:数学题目的特点是形式多变,思路免了繁琐的运算,这是一种行之有效的解題纵横,解法繁简迥异本题通过适当构造方程,方法弃繁就简,找到了解决问题的一条捷径.十、构造方程例15已知α、β为两相异锐角,且满足方甘肃省永昌县第一高级中学(737200程acs2x+bsin2x=c,求证:cos3(a-B)顶冠炜导数在解题中的应用导数可以说是对函数的图象与性质的总性和最值问题,一直是高考常考不衰的热点内结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳容.另一方面,从数学角度反映实际问题,建立的重要工具,广泛运用在讨论函数图象的变化数学模型,转化为函数的最大值和最小值问趋势及证明不等式等方面.导数是初等数学与题,再利用导数顺利解决,从而进一步地解决高等数学的重要衔接点,是高考的热点,高考实际问题对导数的考查定位于作为解决初等数学问题2.利用导数的几何意义,研究曲线的切线的工具出现,高考对这部分内容的考查将仍会斜率也是导数的一个重要作用,并且也是高考以导数的应用题为主,如利用导数处理函数的考查的重点内容之一函数y=f(x)在x=x极值、最值和单调性问题与曲线的问题等,考处的导数,表示曲线在点P(x,y0)处的切题不难,侧重知识之意线斜中国煤化工高考考查导数应用主要有以下三个方面YHCNMHG应用,更能够体1.运用导数的有关知识研究函数的单调现出导数作为工具在研究初等数学问题方面1012年第1期数理化学习*K的先进性,如在数列、不等式、排列组合等知识Z),曲线y=f(x)在点(2f(2))处的切线方的综合等.程为y=3近年来,导数的相关知识在高考中的地位(I)求y=f(x)的解析式;日益突出,本文通过下面三个问题来阐述导数(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)的图象是一个中问题及其常规求解方法,希望对同学们复习备心对称图形,并求其对称中心考有所帮助和启示(Ⅲ)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切例1已知函数∫(x)=x3+ax2+x+1,线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形面a∈R积为定值,并求出此定值.(I)讨论函数f(x)的单调区间说明:本题主要考查导数的简单应用,运(Ⅱ)设函数fx)在区间(-3,-3)内用导数的几何意义来解决函数与解析几何的综合问题是减函数,求a的取值范围说明:本小题主要考查导数计算,应用导解:(I)f'(x)=a于是数研究函数的单调性,考查分类讨论的数学思想2+b解:(I)因为f(x)=x3+ax2+x+1,所解得以f'(x)=3x2+2ax+1(2+b)20当a2≤3时,△≤0,f'(x)≥0,f(x)在R9当a2>3时f(x)=0,由3x2+2ax+11b=9因a,b∈Z,故(x)=x+上单调递增;=0,得两根为x12=可得(Ⅱ)证明:已知函数y1=x,y2=都是f(x)在(-∞,)上单调递增,在奇函数/n2所以函数g(x)=x+1也是奇函数,其图)上单调递象是以原点为中心的中心对称图形减,在(-a+ va-3,+∞)上单调递增而f(x)=x-1+(Ⅱ)根据题意,由(1)得可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)-a-√a2-32平移,即得到函数f(x)的图象,故函数f(x)的,且a2>3,解得a图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点十所以实数a的取值范围是[,+∞由中国煤化工,过此点的切CNMHG例2设函数f(x)=ax+-(a线方程为y2012年第期数理化学习高中fm in (x)a"所以1f(x1)-f(x2)≤1Jm(x)-fmn(x)令x=1,得y=x0+1,切线与直线x=11≤2-(-2)=4(Ⅲf(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)交点为(1因为曲线方程为y=x3-3x,所以点A(1,m)不令y=x得y=2x0-1,切线与直线y=x在曲线上设切点为M(x0,y),则点M的坐标满足交点为(2x-1,2x0-1)直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)1,x0+1因f(x)=3(x-1),故切线的斜率为从而所围三角形的面积为l|12xx3-33(x2-1)2「2x0-2|=2整理得2x3-3x+m+3=0所以,所围三角形的面积为定值2因为过点A(1,m)可作曲线的三条切线,例3已知函数∫(x)=ax3+bx2-3x在所以关于x0方程2x-3x2+m+3=0有x=±1处取得极值.三个实根,(I)求函数∫(x)的解析式;设g(x0)=2x0-3x2+m+3,则g(x0)=(Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个6自变量的值x1,x2,都有1f(x1)-f(x2)|≤4由g'(x0)=0,得x=0或x0=1.Ⅲ)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线所以函数g(x0)=2x-3x+m+3的极y=∫(x)的三条切线,求实数m的取值范围.值点为x0=0,x0=1的极值,利用导数为工具解决函数与不等式的三个实根的充要条件是6(1(0)(2NO说明:本小题主要考查应用导数研究函数所以关于x0方程2x0-3x2+m+3=0有有关综合问题,运用导数的几何意义来解决函即(m+3)(m+2)<0,解得-3