塔器抗震设计(二): 单自由度体系及地震影响系数曲线

地震时，地面上原来静止的结构因地面运动而产生强迫振动。因此，结构地震反应是一各种动力反应。其大小或振幅不仅与地面运动有关，还与结构的动力特性(自振周期、振型和阻尼)有关，一般需采用结构动力学分析才能得到^[1]。

地震反应，指地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等。地震作用是地震动通过结构惯性力引起的，对于结构来说，和温度、基础沉降等同属间接作用，一般不称为荷载^[1]。（重力、风载荷等则属于直接作用）

结构动力计算的关键是结构惯性的模拟，由于结构的惯性是结构质量引起的，因此动力计算简图的核心内容就是结构质量的描述，如连续结构体，单质点体系，多质点体系等。

NB/T47041在求等直径、等厚度塔器自振周期的时候，就是将其视为连续结构体，见标准释义的第3章。连续结构体的运动方程为偏微分方程，但求解和实际运用较为不便，工程上更多的是采用单质点或多质点体系等集中化方法来描述质量。

考虑到结构的竖向约束而忽略竖向位移，各质点在竖直平面内也只有一个自由度^[1]。即单质点体系为单自由度体系，多质点体系为多自由度体系，但各质点也有一个自由度。

对于单自由度体系，根据达朗贝尔原理，有平衡方程：

其中，x为质点相对地面的位移，x_g为地面运动，两者一次导为速度，二次导为加速度。式中左边第一项为质点惯性力，第二项为与速度成正比的阻尼力，第三项为与位移成正比的弹性恢复力。

这是一个常系数二阶非齐次线性微分方程。线性常微分方程的通解=齐次解+特解。齐次解对应于系统的自由振动，特解对应强迫振动。通过自由振动方程，由初始条件(虽然都为0)可求得自振频率。自振频率为系统固有特性，只与系统的质量m和刚度k有关。

地面的地震运动(强迫振动)一般为不规则往复运动，可分解为多个脉冲运动。所以，体系在任意时刻t的地震反应x可0~t时段所有地面脉冲反应的叠加求得，上述方程的特解见文献[1]的3.2节及式3-32。

系统通常无初始速度、初始位移，并且由于体系有阻尼，自由振动(即齐次解)可忽略。

对于抗震设计来说，感兴趣的是地震的最大反应，将质点所受最大惯性力定义为单自由度体系的地震作用，即：

由振动的一般规律：加速度最大时，速度最小，有：

上式的意义是，求得地震作用x后，即可按静力分析法计算结构的最大地震位移反应。

为了便于求地震作用，将单自由度体系的最大绝对加速度反应与其自振周期T的关系定义为地震加速度反应谱，或简称地震反应谱S_a(T)，见文献[1]式3-38。

S_a(T)可以理解为一个确定的地面运动x_g，通过一组阻尼比相同但自振周期T各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期的关系曲线。

但在进行抗震设计的时候，并无法事先知道x_g，但可以将上面两个式子进行这样的处理：

注意这里的k和上面的k不一样。这里的k为地震系数，为地震反应最大加速度与重力加速度的比值，与地震烈度有一定的对应关系，按统计分析结果，k为与地震烈度对应的常数。

β为动力系数，是体系最大加速度与地面最大加速度之比，意义为体系加速度放大系数。

β(T)实质为规则化的地震反应谱，不同的地震记录，S_a(T)不具有可比性，β(T)却具有可比性。

这就是地震影响系数谱曲线的由来。

参考文献：

[1] 李国强, 李杰, 苏小卒. 建筑结构抗震设计(第二版). 北京: 中国建筑工业出版社,2007.